Bestimmen Sie alle lokalen Extremstellen von f unter der Nebenbedingung g(x)=0 , d.

Question

Aufgabe:

Die Funktionen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) und \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) seien definiert durch

\( \begin{aligned} f\left(x_{1}, x_{2}\right) &:=\frac{1}{3} x_{2}^{3}+\frac{1}{2} x_{1}^{2}-\frac{3}{2} x_{2}^{2}-x_{1}+2 x_{2}+4 \\ g\left(x_{1}, x_{2}\right) &:=2 x_{2}-x_{1} \end{aligned} \)

Bestimmen Sie alle lokalen Extremstellen von \( f \) unter der Nebenbedingung \( g(x)=0 \), d. h. finden Sie alle lokalen Extremstellen von \( f \) auf der Menge \( M:=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}: g(x)=0\right\} \).

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen die Funktion \(f(x;y)\) unter einer Nebenbedingung \(g(x;y)\) optimieren:$$f(x;y)=\frac13y^3+\frac12x^2-\frac32y^2-x+2y+4\quad;\quad g(x;y)=2y-x\stackrel!=0$$

Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion kollinear zum Gradienten der Nebenbedingung sein:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\,\operatorname{grad}{g(x;y)}\quad\implies\quad\binom{x-1}{y^2-3y+2}=\lambda\binom{-1}{2}$$Die beiden Vektoren sind kollinear, wenn sie keine Fläche aufspannen, wenn also ihre Determinante verschwindet:$$0\stackrel!=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}x-1 & -1\\y^2-3y+2 & 2\end{array}\right)=2(x-1)+(y^2-3y+2)\implies$$$$2(x-1)=-(y^2-3y+2)\implies x=1-\frac{y^2-3y+2}{2}$$Das setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$0\stackrel!=2y-\left(1-\frac{y^2-3y+2}{2}\right)\implies0=4y-2+(y^2-3y+2)=y^2+y=y(y+1)$$Also ist \(y=0\) oder \(y=-1\). Mit den entsprechenden \(x\)-Koordinaten erhalten wir zwei Extremstellen:$$K_1(-2|-1)\quad;\quad K_2(0|0)$$

Comments

Viele vielen Dank ❤️❤️❤️

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Wenn du noch keine Determinante hattest, kannst du auch die Gleichung für die erste Koordinate durch die Gleichung der zweiten Koordinaten dividieren:$$\frac{x-1}{y^2-3y+2}=\frac{-1}{2}\quad\implies\quad x=1-\frac{y^2-3y+2}{2}$$Das geht deutlich schneller ;)

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Du bist der beste <33333 du rettest immer wieder mein hintern :-)