Wie kann man die lokalen Extremstellen einer bivariaten Funktion bestimmen?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich hier die lokalen Extremstellen bestimmen?

\(\displaystyle f(x, y)=x^{3}-3 x+3 x y^{2} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe als Ableitungen f_x = 3x^2-3+3y^2 und f_y = 6xy

Ich weiß aber nicht, wie ich mit diesen Gleichungen die kritischen Punkte bestimmen kann

Answer 1

Aloha :)

Der Gradient muss an den kritischen Stellen verschwinden:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{3x^2-3+3y^2}{6xy}$$Aus der zweiten Komponente entnehmen wir:$$0=6xy\implies \green{x=0\;\lor\;y=0}$$Aus der ersten Komponente folgt dann:$$0=3x^2+3y^2-3=(3x^2+\underbrace{6xy}_{=0}+3y^2)-3=3(x+y)^2-3\implies$$$$\implies(x+y)^2=1\implies \red{x+y=\pm1}$$

Im Fall \(\green{x=0}\) muss \(\red{y=\pm1}\) gelten.

Im Fall \(\green{y=0}\) muss \(\red{x=\pm1}\) gelten.

Das liefert uns vier kritische Punkte: \((0|-1)\), \((0|1)\), \((-1|0)\), \((1|0)\)

Answer 2

\(f_x=0\Rightarrow x^2+y^2=1\), also liegen die kritischen Punkte

auf dem Einheitskreis, und wegen \(f_y=0\Rightarrow x=0\vee y=0\)

zugleich auf den Koordinatenachsen, d.h es sind die 4 Punkte

\((\pm1,0), (0,\pm 1)\).

Nun betrachte die Hesse-Matrix ...