Aloha :)
Du musst hier die linearen Abhängigkeiten aus den 4 Vektoren herausrechnen. Das machst du am einfachsten, indem du sie als Spalten in eine Matrix schreibst und diese dann durch elementare Spalten-Umformungen auf Dreieckform bzw. soweit möglich auf Diagonalgestalt bringst. Alle Spalten, die dabei nicht zu Null-Spalten werden, bilden eine mögliche Basis.
$$\begin{array}{rrrr}-S_3 & & -2S_2 &\\\hline5 & 2 & 4 & \varphi\\4 & 2 & 3 & 1\\2 & -2 & -2 & 1\\3 & 1 & 2 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr}+S_3 & -2S_1 & & +S_3\\\hline1 & 2 & 0 & a\\1 & 2 & -1 & 1\\4 & -2 & 2 & 1\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrr} +S_2 & \cdot(-1) & & +S_2\\\hline1 & 0 & 0 & a\\0 & 0 & -1 & 0\\6 & -10 & 2 & 3\\1 & -1 & 0 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} &\to S_3 & \to S_2 & \\\hline1 & 0 & 0 & a\\0 & 0 & -1 & 0\\-4 & 10 & 2 & -7\\0 & 1 & 0 & 0\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 & \vec b_4(\varphi) \\\hline1 & 0 & 0 & \varphi\\0 & -1 & 0 & 0\\-4 & 2 & 10 & -7\\0 & 0 & 1 & 0\end{array}$$
Für den Fall \(\varphi=\frac{7}{4}\) bleiben nur die Basisvektoren \(\vec b_1\), \(\vec b_2\) und \(\vec b_3\) übrig, denn dann ist der Vektor \(\vec b_4(\varphi)\) kollinear zu \(\vec b_1\):$$\vec b_4(\varphi)=\vec b_4\left(\frac74\right)=\begin{pmatrix}\frac{7}{4}\\[0.5ex]0\\-7\\0\end{pmatrix}=\frac{7}{4}\begin{pmatrix}1\\0\\-4\\0\end{pmatrix}=\frac{7}{4}\vec b_1$$In diesem Fall lässt sich also die 4-te Spalte durch die 1-te ausdrücken. Übrig bleiben dann nur 3 Basisvektoren, sodass die Dimension des Vektorraums \(3\) ist.
Für den Fall \(\varphi\ne\frac{7}{4}\) bleiben vier Basisvektoren übrig, die 4 Vektoren \(\vec v_i\) bzw. \(\vec b_i\) spannen dann einen 4-dimensionalen Vektorraum auf.
