Du sollst also $$ \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right) $$ mit \( a_k = b_k = \left( \frac{4}{5} \right)^k \) ausrechnen?
Das ergibt durch einsetzen $$ \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n \left( \frac{4}{5} \right)^n \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{4}{5} \right)^n (n+1) $$
Die letzte Summe ist eine geometrische Reihe bzw. eine mit der geometrischen Reihe eng verwandte Reihe
s. https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
und ergibt \( \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{4}{5} \right)^n (n+1) = 25 \) ebenso wie
$$ \left( \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{4}{5} \right)^n \right)^2 = 25 $$
