(2 Punkte) Für welche a ∈ ℝ ist f stetig?

Question

Aufgabe:

Für welche \( a \in \mathbb{R} \) ist \( f \) stetig?

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -\cos (x-1) a+1 & \text { für } x<1 \\ 2 x^{2}+a & \text { für } x \geq 1 \end{array}\right. \)

Kommt für a = -1 raus?

Answer 1

\( \begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow 1}(-\cos (x-1) a+1 )\stackrel{!}{=} 2+a & \Longleftrightarrow-a+1=2+a \\ & \Longleftrightarrow 2 a=-1 \\ & \Longleftrightarrow a=-\frac{1}{2} \end{aligned} \)

Answer 2

An den Stellen x≠1 ist es stetig nach den gängigen Sätzen

(cos ist stetig, Summe, Produkt , Verkettung ist stetig etc.)

Bei x=1 musst du schauen:

Für x>1 und x gegen 1 ist der Grenzwert 2+a

Für x<1 und x gegen 1 ist der Grenzwert -cos(0)*a+1 = -a+1

Damit die Grenzwerte gleich sind gilt

         2+a = -a +1 <=>  a=-0,5

Und dann stimmen die auch mit f(1) überein.

Answer 3

a= - \( \frac{9π^2+12π+2}{2} \).