Eine Möglichkeit ist über Inverse Elemente zu argumentieren. Da \( p \) eine Primzahl ist, hat jedes Element in \( \{1,2, \ldots, p-1\} \) ein Inverses Element modulus \( p \) (das ist nicht schwierig zu beweisen, eine gute Übung). Insbesondere ist \( (p-1) \cdot(-1) \equiv_{p} 1 \) und daher ist \( -1 \) das Inverse von \( (p-1) \). Das heisst widerum, dass für alle \( x \in\{1,2, \ldots, p-2\} \) das Inverse in \( \{1,2, \ldots, p-2\} \) liegt, und daher
\( \prod \limits_{x \in\{1,2, \ldots, p-2\}} x=(p-2) ! \equiv_{p} 1 \)
sein muss. Daraus folgt dann direkt
\( (p-1) !=(p-1)(p-2) ! \equiv_{p}(p-1) \cdot 1=(p-1) \)
Hier noch kurz der Beweis, dass jedes Element in \( \{1,2, \ldots, p-1\} \) ein Inverses Element modulus \( p \) hat. 1 ist natürlich zu sich selbst Inverse, also schliessen wir es mal aus. Für \( x \in\{2,3, \ldots, p-1\} \) gilt nun
\( \operatorname{gcd}(x, p)=1 \)
Mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus kann man nun \( a, b \in \mathbb{Z} \) bestimmen, sodass
\( a x+b p=1 \Longrightarrow a x+b p \equiv_{p} 1 \Longleftrightarrow a x \equiv_{p} 1 \)
und somit ist \( R_{p}(a) \in\{2,3, \ldots, p-1\} \) das Inverse von \( x \).
