fa'(x) = x^2 + (2a-1)*x -2a
Das gleich 0 gibt x=-2a oder x=1
fa' '(x) =2x+2a-1 ==> fa' '(1) = 1+2a
Für a>-1/2 ist das positiv, also ist dann dort ein Tiefpunkt.
Für a<-1/2 allerdings nicht.
b) \( f_{a}(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2 a-1}{2} x^{2}-2 a x \)
und \( f_{b}(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2 b-1}{2} x^{2}-2 b x \)
gleichsetzen gibt
\( \frac{1}{3} x^{3}+\frac{2 a-1}{2} x^{2}-2 a x =\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2 b-1}{2} x^{2}-2 b x \)
<=> \( \frac{2 a-1}{2} x^{2}-2 a x = \frac{2 b-1}{2} x^{2}-2 b x \)
<=> \( (a-b) * x^{2} + 2(a-b)x = 0 \)
Wenn die Funktionen verschieden sind ist a-b nicht 0, also
folgt x^2 + 2x = 0 also x* ( x-2) = 0
<=> x=0 oder x=2. Die Schnittpunkte haben die
x-Koordinaten 0 und 2.
8. \( f_{a}(x)=\frac{x^{3}}{2 a^{3}}-3 \frac{x^{2}}{2 a^{2}} \)
==> \( f_{a}'(x)=\frac{3x^{2}}{2 a^{3}}- \frac{3x}{a^{2}} \)
Gleich 0 gesetzt gibt \( 0=\frac{3x^{2}}{2 a^{3}}- \frac{3x}{a^{2}} \) | *2a3
<=> 3x^2 - 6ax = 0 <=> x*( 3x -6a) = 0
x=0 oder x=2a
\( f_{a}''(x)=\frac{3x}{ a^{3}}- \frac{3}{a^{2}} \)
ergibt \( f_{a}''(0)=- \frac{3}{a^{2}} \lt 0\) also bei 0 ein HP.
\( f_{a}''(2a)= \frac{3}{a^{2}} \gt 0\) also bei x=2a ein TP.
Der einzige Tiefpunkt ( und damit alle) hat die y-Koordinate
fa(2a) = -2. Beh. stimmt also.
