Wie verhält sich der Pilzbefall? Differentialgleichung P(Punkt über P) (t) = (cos t - (2t)/(1 + t^2)) P(t)

Question

Die zeitliche Entwicklung eines Pilzbefalls nach Anwendung eines Pilzbekämpfungswirkstoffes läßt sich durch die Differentialgleichung

P(Punkt über P) (t) = (cos t - (2t)/(1 + t^2)) P(t) ,

beschreiben; dabei bezeichnet t-> P(t) die Stärke des Befalls zur Zeit t ≥ 0 (in Monaten).

(i) Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung für t ≥ 0 zur Anfangsmasse P(0) = P0.

(ii) Wie verhält sich der Pilzbefall gleich nach dem Beginn der Behandlung? Und was ist das langfristige Verhalten des Pilzbefalls, also für t →∞?

(iii) Angenommen die Behandlung mit dem Wirkstoff beginnt am 15. Januar. Begründen Sie, dass die Stärke des Pilzbefalls nach dem 15. April immer kleiner bleiben wird als die Hälfte des Anfangswertes P0.

MfG

Comments

Hi

Du hast eine Klammer vergessen, oder eine zu viel gesetzt.

P(Punkt über P) (t) = (cos t - 2t) / (1+t² ) P(t)

Soll die Gleichung so aussehen?

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Also es sieht so aus:

 

P(Punkt über P) (t) = (cos t -( 2t) / (1+t² ) ) P(t)

 

cos t steht "alleine" dann kommt ein Bruch nach dem Minus, da steht im Zähler ( 2t) und im Nenner (1+t² ) um den ganzen Ausdruck steht noch eine Klammer:

P(Punkt über P) (t) = (cos t -( 2t) / (1+t² ) ) P(t)

 

MfG

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Ich habe noch eine Frage zur Ausgangsfunktion:

P(Punkt über P) (t) = (cos t - (2t) / (1 + t2)) P(t) ,

wenn jetzt hier statt cos sin stehen würde, würde es beim aufleiten cos heißen oder nicht -cos oder?
MfG

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wenn dort sin t statt cos t stünde, müsste sin t integriert werden, sin t integriert ergibt -cos t + C

Answer 1

Hallo

(i)

(dP)/(dt) = (cos t - (2t) / (1 + t^2)) P(t)
1/P dP = cos t dt - (2t) / (1 + t^2) dt
∫1/P dP = ∫cos t dt - ∫(2t) / (1 + t^2) dt
-------------------------------------------------
Nebenrechnung
Substitution: u = 1 + t^2
(du)/(dt) = 2t
du = 2t dt
∫(2t) / (1 + t^2) dt =
∫(2t) / u dt =
∫ 1/u du
-------------------------------------------------
∫1/P dP = ∫cos t dt - ∫ 1/u du
ln P + C1 = sin t + C2 - ln u + C3 | Resubstitution: u = 1 + t^2
ln P + C1 = sin t + C2 - ln(1 + t^2) + C3
ln P = sin t - ln(1 + t^2) + C4 | C4 = C2 + C3 - C1
P(t) = e^{sin t - ln(1 + t^2) + C4}
P(0) = e^C4 = P₀

P(t) = e^{sin t - ln(1 + t^2) + C4}
P(t) = e^C4 e^{sin t - ln(1 + t^2)}
P(t) = P₀ e^{sin t - ln(1 + t^2)}

(ii)

Gleich nach dem Beginn der Behandlung nimmt die Stärke des Pilzbefalls bis auf
einen Höchstwert zu, nach dem Erreichen des Höchstwertes nimmt die Stärke ab und geht gegen 0.

Verlauf des Graphen für verschiedene Anfangswerte P₀, von  P₀ = 1 bis P₀ = 5.

 

(iii)

P(3) = P₀ e^{sin 3 - ln(1 + 3^2)}
P(3) ≈ 0,11 P₀

Drei Monate nach Behandlungsbeginn ist die Stärke des Pilzbefalls auf ungefähr ein Zehntel des Anfangswerts P₀ abgeklungen.