Funktionsscharen mit Kontext

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Mathe Diagnosebogen
Aufgabe 4: Funktionsscharen-neuer Kontext
Betrachtet wird die Funktionsschar \( \boldsymbol{f}_{k} \) mit
\( f_{k}=0,2 x^{3}-k x^{2}+5 x, k>0, k \in \mathbb{R} \)
(i) Die Tangenten an die Graphen von \( \boldsymbol{f}_{k} \) in den Punkten \( \boldsymbol{Q}_{k}\left(\mathbf{5} \mid \boldsymbol{f}_{k}(\mathbf{5})\right) \) werden mit \( t_{k} \) bezeichnet.
Begründe: für alle \( k>0 \) ist die Gerade durch \( \mathrm{R}(2,5 \mid 0) \) und \( Q_{k}\left(5 \mid f_{k}(5)\right) \) gleichzeitig auch Tangente im Punkt \( Q_{k}\left(5 \mid f_{k}(5)\right) \)
(ii) Für die y-Koordinate des Wendepunktes gilt jeweils: \( \boldsymbol{y}_{\boldsymbol{k}}=\frac{25}{3} \boldsymbol{k}-\frac{50}{27} \boldsymbol{k}^{3} \).
Untersuche, ob es Wendepunkte gibt, für die die \( y \)-Koordinate fünfmal so groß ist wie die zugehörige x- Koordinate.

Problem/Ansatz: ich verstehe die komplette Aufgabe nicht und meine Lehrerin meldet sich nicht . Die Aufgaben hat sie selber erstellt

Answer 1

Hallo,

zu a)

berechne zunächst die Tangente im Punkt Q (5 | 50-25k)

\( f_{k}(x)=0,2 x^{3}-k x^{2}+5 x \)
\( f_{k}^{\prime}(x)=0,6 x^{2}-2 k x+5 \)

für die Steigung der Tangente berechne f'(5)

\( \begin{aligned} f_{k}^{\prime}(5) &=15-10 t+5 \\ &=20-10 k \end{aligned} \)

allgemeine Tangentengleichung t = mx + n

m ist bestimmt, es fehlt noch n. Dazu die Koordinaten des Punktes und m in die Tangentengleichung einsetzen.

\( t_{k}=(20-10 k) x+n \)

\( 50-25 k=(20-10 k) \cdot 5+n \)
\( 50-25 k=100-50 k+n \)
\( -50+25 k=n \)

Die Gleichung der Tangente lautet also

\( t_{k}=(20-10 k) x-50+25 k \)

Jetzt die Gleichung durch R und Q aufstellen:

Zuerst die Steigung berechnen:

\( \begin{aligned} m=\frac{50-25 k-0}{5-2,5}=& \frac{50-25 k}{2,5}= & 20-10 k \end{aligned} \)

n durch Einsetzen der Koordinaten von R bestimmen:

\( \begin{aligned} 0 &=(20-10 k) \cdot 2,5+n \\ 0 &=50-25 k+n \\-50 &+25 k=n \end{aligned} \)

Damit gezeigt, dass die Gerade durch R und Q identisch mit der Tangente in Q ist.

Gruß, Silvia