Funktionsscharen mit e funktion

Question

Aufgabe:

Hallo, Ich bin gerade beim Üben von Funktionsscharen, habe in 3 Tagen meine Klausur und bin einige Aufgaben, gestoßen, die ich nicht wirklich machen konnte.

1) Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=2x*e^(ax), a>0

a) Untersuchen Sie den Schar auf Nullstllen, Extrema und Wendepunkte.

Untersuchen Sie fa für -/+♾ (im grundegenommen weiß ich wie man das alles berechnet, aber da kommt ja am Ende im ein a mit danei und keine Reine Zahl um dann zu wissen ob das HP oder TP ist:( )

c) Bestimmen Sie die gleichung der Nullstellennormalen.

d) ein achsenparalleles Rechteck mit einer Ecke im Ursprung der gegenüberliegenden Ecke im 3. Quadranten auf fa soll maximalen Inhalt haben. Ermitteln sie den Punkt Pa(xa|f(xa))

e ) Bestimmen Sie mit dem Formansatz Fa ( x ) = ( bx + c ) e^(ax) die Koeffizienten b und c einer Stammfunktion von fa . Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche unter fa . über [ -(a/2), 0 ] . Hat die insgesamt unter fa , im 3. Quadranten liegende Fläche einen endlichen Inhalt ?

f) Zeigen Sie , dass die Ortskurven der Extrema und der Wendepunkte Ursprungsgeraden sind . Unter welchem Winkel schneiden sie sich ?

Ich wäre echt dankbar, wenn due Lösungen mit Rechnung angegeben werden würde und gegebenenfalls mit einer kurzen Erklärung, denn ich würde es gerne verstehen

Answer 1

1) Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=2x*e^(ax), a>0
a) Untersuchen Sie den Schar auf Nullstllen, Extrema und Wendepunkte.

f(x) = 0

Satz vom Nullprodukt anwenden: nur 2x kann Null werden

Extrema;

f '(x) = 0

Produkt - und Kettenregel anwenden

u = 2x -> u' = 2

v= e^(ax) -> v' = a*e^(ax)

Wendepunkt:

f ''(x) = 0

....


c) Bestimmen Sie die gleichung der Nullstellennormalen.

n(x) = -1/f '(0)* (x-0) +f(0)