Wir betrachten den reellen Vektorraum U aller Funktionen u: ℝ → ℝ und darin die TeilmengenV := {v : ℝ → ℝ | ∀x ∈ ℝ : v(x) = v(−x)} undW := {w: ℝ → ℝ | ∀x ∈ ℝ : w(x) = −w(−x)}aller geraden beziehungsweise ungeraden Funktionen.(a) Zeigen Sie, dass V und W Unterräume von U sind und U = V ⊕ W gilt.(b) Bestimmen Sie die Projektion πV : U → U auf V entlang W und die Projektion πW : U → U aufW entlang V.
Danke im Voraus
Sei u∈U. Zeige
f:ℝ→ℝ f(x) = 0,5*(u(x)+u(-x)) ist gerade und
g:ℝ→ℝ g(x) = 0,5*(u(x)-u(-x)) ist ungerade
und (f+g)(x)=u(x).
Also gibt es zu jedem u∈U f bzw g aus V bzw. W
mit u = f+g . Und weil V∩W={0-Funktion} ist,
ist die Summe direkt.
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