Zeigen Sie, dass V und W Unterräume von U sind und U = V ⊕ W gilt.

Question

Wir betrachten den reellen Vektorraum U aller Funktionen u: ℝ → ℝ und darin die Teilmengen
V := {v : ℝ → ℝ | ∀x ∈ ℝ : v(x) = v(−x)} und
W := {w: ℝ → ℝ | ∀x ∈ ℝ : w(x) = −w(−x)}
aller geraden beziehungsweise ungeraden Funktionen.
(a) Zeigen Sie, dass V und W Unterräume von U sind und U = V ⊕ W gilt.
(b) Bestimmen Sie die Projektion π_V : U → U auf V entlang W und die Projektion π_W : U → U auf
W entlang V.

Danke im Voraus

Answer 1

Sei u∈U. Zeige

f:ℝ→ℝ f(x) = 0,5*(u(x)+u(-x)) ist gerade und

g:ℝ→ℝ g(x) = 0,5*(u(x)-u(-x)) ist ungerade

und (f+g)(x)=u(x).

Also gibt es zu jedem u∈U f bzw g aus V bzw. W

mit u = f+g . Und weil V∩W={0-Funktion} ist,

ist die Summe direkt.