Erstmal die Verknüpfungen in ⊕ und ⊗ umbenennen, bevor du ins Unheil rennst.
Rechne nach das (Z,⊕) eine abelsche Gruppe ist
a ⊕ (b⊕c) = a + (b⊕c) -1 = a + ( b + c - 1) - 1 = a + b + c - 2
(a⊕b) ⊕ c = (a⊕b) + c - 1 = (a + b - 1) + c - 1 = a + b + c - 2
Somit assoziativ.
abelsch klar a⊕b = a + b - 1 = b + a - 1 = b⊕a
Neutrales Element offenbar 1 a⊕1=a+1-1=a
Additiv Inverses zu x ist -x + 2: x⊕(-x+2) = x + (-x+2) - 1 = 1
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Dann rechne nach, dass (Z,⊗) ein abelsches Monoid ist:
a ⊗ (b ⊗ c) = a + (b ⊗ c) - a * (b ⊗ c) = a + (b + c - b * c) - a * (b + c - b * c)
(a ⊗ b) ⊗ c = (a + b - a * b) + c - (a + b - a * b) * c
Vereinfachen, kommt dasselbe raus => assoziativ.
abelsch: a ⊗ b = a + b - a * b = b + a - b * a = b ⊗ a
Neutrales Element ist offenbar 0: a ⊗ 0 = a + 0 - a * 0 = a
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Distributivgesetze erfüllt? Einfach nachrechnen, hab ich jetzt keine Lust zu.
Wenn du das machst, siehst du, dass (Z,⊕,⊗) ein kommutativer Ring mit Eins ist. Das Nullelement ist hier 1, das Einselement ist hier 0. Lustig, oder?
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Ist er nullteilerfrei? Falls a ⊗ b = a + b - a * b = 1 (das Nullelement ist hier 1!)
Dann ist a - a * b = 1 - b = a * (1-b) => a = 1 (Nullelement!) oder b = 1 (Nullelement!)
Somit: ist ein Produkt = dem Nullelement ist mindestens ein Faktor = dem Nullelement.
Der Ring ist also nullteilerfrei, insb. ein IB.
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Körper? Nein es gibt Elemente ohne multiplikativ Inverses. Z.B. 3. Existiert ein b s.d.
0 = 3 ⊗ b = 3 + b - 3*b = 3 - 2* b?
Eine ungerade Zahl minus eine gerade Zahl ergibt niemals 0. Also nein -> 3 hat kein inverses.
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Über Q aber schon, ist a ≠ 1, dann löse 0 = a ⊗ b = a + b - a * b nach b auf und du siehst, dass jedes Element ein Inverses hat. Somit ist es über Q ein Körper.
