Begründen der Divergenz einer Folge

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf Konvergenz, (bestimmte) Divergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

\( a_{n}=\frac{n^{n}}{n !} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

Problem/Ansatz:

Anhand wie die Folgenglieder ausfallen, kann man erkennen, dass die Folge bestimmt divergent gegen plus unendlich sein sollte. Aber wie begründet man das?

Comments

Wäre es okay, wenn man es schafft zu zeigen, dass die Folge unbeschränkt ist, dann zu folgern, dass die Folge divergent ist?

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Letzte Frage: Wir haben jetzt die Divergenz, aber wie kann man noch sagen, ob es jetzt bestimmt oder unbestimmt divergent ist? Weil die Folge geht nach +∞ (also von den Folgengliedern gesprochen).

Answer 1

Man kann erkennen, dass die Folge bestimmt divergent gegen plus unendlich sein sollte. Aber wie begründet man das?

Zum Beispiel mit einer Exponentialfunktion als Minorante.

Comments

Die Exponentialfunktion wurde leider noch nicht eingeführt...

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Dann nimm eine geometrische Folge mit q>1 als Minorante.

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Vielen Dank für die Idee, ich bin auf das gleiche gekommen, wie ermanus :)

Answer 2

\(\frac{n^n}{n!}=\frac{n}{1}\cdot\frac{n}{2}\cdots\frac{n}{n}\geq n\cdot 1\cdot1\cdots1=n\).

Comments

Okay gut, dann ist die Folge schon mal unbeschränkt und dann kann jetzt sagen, dass sie divergent ist, oder?

Edit: hat sich erledigt, weil man einfach die Kontraposition vom Satz: Jede konvergente Folge ist beschränkt nehmen kann und direkt folgern kann, dass eine unbeschränkte Folge, divergent ist.

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Klar kannst du das sagen. Für jedes \(K>0\) ist \(a_n>K\),

für alle \(n\geq K\).

Answer 3

n^n wächst schneller als n!-

n^n = n*n*n*...*n

n! = n*(n-1)(n-2)*(n-3)*...*1

Nach Wegkürzen von n bleiben die Faktoren im Zähler konstant, im Nenner werden sie immer kleiner.