\( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left[\begin{array}{l} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2 \\ x_{1}+x_{2}-2 \end{array}\right] \)
Hat die Jacobimatrix \( J\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x_1 & 2y_1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Und es geht ja nach \( x_{n+1}=x_{n}-J(x_{n}) ^{-1}\cdot f(x_n) \)
Startwert \( x_{0} = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \)
führt zu \( J\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) und davon die Inverse
\( J\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} ^{-1}=\begin{pmatrix} -0.5 & 1\\ 0.5 & 0 \end{pmatrix} \)
\( f(x_0) = \begin{pmatrix} -1\\ -1 \end{pmatrix} \) Gibt also
\( x_1 = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -0.5 & 1\\ 0.5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5\\ 1.5 \end{pmatrix} \)
Jetzt den 2. Schritt, dafür erst mal
\( J\begin{pmatrix} 0.5\\ 1.5 \end{pmatrix} ^{-1}=\begin{pmatrix} -0.5 & 1.5\\ 0.5 & -0.5 \end{pmatrix} \)
\( x_1 = \begin{pmatrix} 0.5\\ 1.5 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -0.5 & 1.5\\ 0.5 & -0.5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.5\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.75\\ 1.25 \end{pmatrix} \)
