Stammfunktion bilden von f(t)=50t*e^{-0,25t}

Question

Aufgabe:

Stammfunktion von f(t)=50t*e^{-0,25t}

Die vorgegebene Lösung ist F(t)=(-200t-800)*e^{-0,25t}

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie man auf das Endergebnis kommt? Da bereits ein t^1 existiert müsste es doch beim aufleiten ein ^2 werden? Meine Lösung ist: F(t) = 1/2·50 t^2 · 1/-0,25*e^{-0,25t}

Answer 1

Hallo,

\(f(t)=50t\cdot e^{-0,25t}\)

Hier hilft partielle Integration mit

\(u(t)=50t\) und \(v'(t)= e^{-0,25t}\).

\(u'(t)=50\) und \(v(t)= -4e^{-0,25t}\).

\(\int u(t)v'(t) dt = u(t)v(t)  -  \int u'(t)v(t) dt     \)

Also:

\(\int f(t)dt\\=50t\cdot (-4)e^{-0,25t} -\int 50\cdot(-4) e^{-0,25t}dt\\ = -200t+200\cdot (-4)e^{-0,25}\\=-200t-800e^{-0,25t}\)

:-)

Answer 2

Wir machen nur mal ein paar Ableitungen damit du etwas lernst

f(t) = 50·t·e^(- 0.25·t)

f'(t) = e^(- 0.25·t)·(50 - 12.5·t)

f''(t) = e^(- 0.25·t)·(3.125·t - 25)

f'''(t) = e^(- 0.25·t)·(9.375 - 0.78125·t)

Du siehst, dass in der Klammer immer eine lineare Funktion bleibt, egal wie oft man ableitet. Ist es nicht auch logisch, dass auch die Stammfunktion in der Klammer eigentlich nur eine lineare Funktion besitzt?

Es gibt mehrere Möglichkeiten die Stammfunktion zu bekommen. Einmal über partielle Integration. Ein anderer weg wäre eine Vermutete Stammfunktion mit Parametern aufstellen, ableiten und Koeffizientenvergleich durchführen.

Eine vermutete Stammfunktion ist

F(t) = e^(- 0.25·t)·(a·t + b)

F'(t) = e^(- 0.25·t)·(- a/4·t + a - b/4)

Jetzt durch Koeffizientenvergleich a und b bestimmen

- a/4 = 50
a - b/4 = 0

Kannst du das Gleichungssystem lösen?

Comments

Vielen Dank für die Antwort, jedoch haben wir nichts davon gemacht^^

Achso ich sehe grad in der Aufgabenstellung steht "ohne Nachweis verwendbar", also darf ich die Stammfunktion nutzen ohne sie auszurechnen

sorry für den Aufwand aber die Lösung hab ich nun :D