Aloha :)
Hier brauchen wir die geometrische Summenformel:$$\sum\limits_{n=0}^Nq^n=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}\quad;\quad q\ne1$$in der leichten Abwandlung, dass der Startindex \(1\) ist:$$\sum\limits_{n=1}^Nq^n=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-q^0=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}-1=\frac{q-q^{N+1}}{1-q}$$Für \(|q|<1\) und \(N\to\infty\) konvergiert die Summe, weil \(q^{N+1}\) gegen \(0\) geht:$$\sum\limits_{n=1}^\infty q^n=\frac{q}{1-q}\quad;\quad|q|<1$$
So gerüstet, wenden wir uns den Aufgaben zu:$$S_a=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\sum\limits_{\ell=1}^\infty2^{-\ell-k}\right)=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(2^{-k}\sum\limits_{\ell=1}^\infty2^{-\ell}\right)=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{2^k}\sum\limits_{\ell=1}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^\ell\right)$$$$\phantom{S_a}=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{2^k}\cdot\frac{\frac12}{1-\frac12}\right)=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac12\right)^k=\frac{\frac12}{1-\frac12}=1$$
$$S_b=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\sum\limits_{\ell=1}^k2^{-\ell}\right)=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\sum\limits_{\ell=1}^k\left(\frac12\right)^\ell\right)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\frac12-\left(\frac12\right)^{k+1}}{1-\frac12}=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(1-\left(\frac12\right)^{k}\right)=\infty$$Die Summe konvergiert nicht, weil diie einzelnen Summanden keine Nullfolge bilden, die \(a_k=1-\left(\frac12\right)^k\) konvergieren gegen \(1\), nicht gegen \(0\).
Teilaufgabe (c) ist etwas "fummeliger". Die Summe ist so aufgeschrieben, dass du \(k\) festhälst und dann \(\ell\) von \(1\) bis \(\infty\) laufen lässt. Ich schreibe das mal wie folgt auf:$$\begin{array}{c} & \ell=1 & \ell=2 & \ell=3 & \ell=4 & \cdots\\\hline k=1 & \frac{1}{2^2} & \frac{1}{3^2} & \frac{1}{4^2} & \frac{1}{5^2} &\cdots\\[1ex] k=2 & \frac{1}{3^2} & \frac{1}{4^2} & \frac{1}{5^2} & \frac{1}{6^2} &\cdots\\[1ex] k=3 & \frac{1}{4^2} & \frac{1}{5^2} & \frac{1}{6^2} & \frac{1}{7^2} &\cdots\\[1ex] k=4 & \frac{1}{5^2} & \frac{1}{6^2} & \frac{1}{7^2} & \frac{1}{8^2} &\cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \ddots\end{array}$$Wenn du nun \(k=1\) fest hälst \(\ell\) laufen lässt, rechnest du die ganze Zeit in der ersten Zeile in der Hoffnung, irgendwann das Ergebnis als Grenzwert angeben zu können und in die zweite Zeile \(k=2\) gehen zu können.
Wir könnten aber auch "diagonal" addieren, indem wir die Summe von \(k\) und \(\ell\) festhalten. Setzen wir \(n\coloneqq k+\ell\), so startet die Indexsumme bei \(n=2\). Sie liefert nur das Element \(\frac{1}{2^2}\) links oben in der Ecke. Für \(n=3\) haben wir die Möglichkeiten \(k=2,\ell=1\) und \(k=1,\ell=2\) und addieren die beiden Summanden \(\frac{1}{3^2}\). Für \(n=4\) haben wir \(k=3\,\ell=1\), \(k=2,\ell=2\) und \(k=1,\ell=3\) und addieren die Diagonale mit den Summanden \(\frac{1}{4^2}\)... Wenn dir die Idee klar geworden ist, kannst du die Summe wie folgt umscheiben:
$$S_c=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\sum\limits_{\ell=1}^\infty\frac{1}{(k+\ell)^2}\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\sum\limits_{k+\ell=n}\frac{1}{(k+\ell)^2}\right)=\sum\limits_{n=2}^\infty\left(\sum\limits_{j=2}^{n}\frac{1}{n^2}\right)=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{{n-1}}{n^2}$$Wegen \(n\ge2\) können wir die Summanden wie folgt abschätzen:$$n\ge2\implies \frac{n-1}{n}\ge\frac12\implies\frac{n-1}{n^2}\ge\frac{1}{2n}$$Die Summe \(S_c\) läuft daher in eine harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert:$$S_c\ge\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{2n}=\frac12\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$
