Aloha :)
Wir holen erstmal alle Angaben aus der Aufgabenstellung heraus.
Da sowohl die Koordinaten der Basisvektoren von \(B\) als auch die der Basisvektoren von \(C\) bezüglich der Standardbasis \(S\) angegeben sind, können wir die Transforamations-matrizen von \(B\) nach \(S\) und von \(C\) nach \(S\) direkt hinschreiben, indem wir die Basis-vektoren einfach als Spalten in eine Matrix schreiben:$${_S}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\-1 & 1 & 1\\2 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad {_S}\mathbf{id}_C=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)$$
Die Darstellungsmatrix der Abbildung \(\phi\) bezüglich der Standardbasis \(S\) können wir aus der Abbildungsvorschrift direkt ableiten:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}2x_1+x_2\\x_2+2x_3\\x_1+x_3\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\0 & 1 & 2\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}}_{\eqqcolon {_S}\mathbf{\phi}_S}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$So, mehr kriegen wir aus der Aufgabenstellung nicht raus. Nun zu den Teilaufgaben.
zu a) Wir sollen die Darstellungsmatrix \({_C}\mathbf{\phi}_B\) der Abbildung angeben. Das heißt, wir müssen die Vektoren von der Basis \(B\) in die Basis \(S\) umwandeln, bevor sie in die Abbildungsmatrix \({_S}\mathbf{\phi}_S\) reinlaufen und die Ergebnisse danach von der Basis \(S\) in die Basis \(C\) unwandeln. Formal heißt das:$${_C}\mathbf{\phi}_B={_C}\mathbf{id}_S\cdot{_S}\mathbf{\phi}_S\cdot{_S}\mathbf{id}_B=\left({_S}\mathbf{id}_C\right)^{-1}\cdot{_S}\mathbf{\phi}_S\cdot{_S}\mathbf{id}_B$$$$\phantom{\mathbf{C(\phi)_B}}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)^{-1}\cdot\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\0 & 1 & 2\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\-1 & 1 & 1\\2 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}3 & -1 & 2\\0 & 2 & 1\\2 & 2 & 0\end{array}\right)$$
zu b) Die Basiswechselmatrix von \(B\) nach \(C\) bauen wir wie folgt:$${_C}\mathbf{id}_B={_C}\mathbf{id}_S\cdot{_S}\mathbf{id}_B=\left({_S}\mathbf{id}_C\right)^{-1}\cdot{_S}\mathbf{id}_B$$$$\phantom{{_C}\mathbf{id}_B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1\\1 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\-1 & 1 & 1\\2 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 1\\-3 & 1 & 0\\-2 & 2 & 0\end{array}\right)$$
zu c) Die Determinante von \(\phi\) ist \(\ne0\), daher ist die Abbildung bijektiv.
