Lösung einer komplexen Gleichung in Polarform darstellen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 2 (Polardarstellung)
(4 Punkte)
Bestimmen und skizzieren Sie in einem gemeinsamen Schaubild alle (komplexen) Lösungen der Gleichung
\( z^{5}=1 \)
Hinweis: Denken Sie an die Polardarstellung.

Answer 1

Hallo,

die Gleichung hat fünf komplexe Lösungen. Das erkennst du am Exponenten von z.

Ich finde es am einfachsten, solche Gleichungen mit der Polarform zu lösen.

\(z^5=1\\ (|z|\cdot e^{i\varphi})^5=1\cdot e^{i \cdot n\cdot 2\pi}\\ \blue{ |z|^5}\cdot e^{i\cdot\green {5\varphi}}=\blue1\cdot e^{i \cdot\green{ n\cdot 2\pi}}\\ |z|^5=1~~~;~~~5\varphi=n\cdot2\pi ~~~;~~~n\in\N_0\\ |z|=1\\ \varphi_1=0=0°\\ \varphi_2=2\pi/5=72°\\ \varphi_3=4\pi/5=144°   \\ \varphi_4=6\pi/5=216°   \\ \varphi_5=8\pi/5=288° \)

Comments

Hallo und danke für die Hilfe. Leider bin ich im Umgang mit komplexen Zahlen noch ein Leie - kannst du deshalb noch erklären wie du genau auf die Lösung gekommen bist und was die Zeichen bedeuten

Danke und LG,

Chris

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Hallo,

weißt du denn, was die Polarform ist?

Immerhin wird der Begriff "Polardarstellung" ja in der Aufgabe verwendet.

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Ja das ist ja die Darstellung mit real und imaginärteil. Allerdings verstehe ich nicht wieso du e verwendest und dieses e hoch n * 2π 

LG,

Chris

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Dann weißt du offensichtlich nicht, was die Polarform ist.

:-)

Bei der Polarform sind nicht Real- und Imaginärteil entscheidend, sondern der Betrag |z| bzw r und der Winkel \(\varphi\) zwischen dem Zeiger und der positiven reellen Achse.

Die Zahl z schreibt man dann so:

\(|z|\cdot e^{i\varphi}\)

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Die Polarform hat den Vorteil, dass Potenzieren mit einer natürlichen Zahl n  ganz einfach ist.

Der Betrag wird mit n potenziert und der Winkel mit n multipliziert.

Das siehst du in der dritten Zeile meiner Rechnung.

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Die Zahl 1 ist reell. Ihr Winkel ist daher gleich 0 bzw. 2π bzw. 4π usw.

Deswegen n*2π.

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Ok aber wie kommst du von der 2ten auf die dritte Zeile, ich verstehe die Darstellung in Polarform, allerdings nicht deine Umformung.

LG,

Chris

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Weil wenn man die Klammer in der zweiten Zeile auflösen würde würde ja |z|^5 * e^iφ*5 rauskommen ?

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Hast du e^ i weggekürzt auf beiden Seiten ?

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Nein, nicht weggekürzt, sondern verglichen.

Ich habe meine Antwort ergänzt.

Answer 2

Die Lösungen liegen gleichmäßig auf einem Einheitskreis verteilt.

Comments

Danke für deine Hilfe. Wäre es möglich noch deine Rechenschritte zu erklären , bzw. wie du drauf gekommen bist.

Danke und LG,

Chris

Answer 3

Die Lösungen sind also, wie Roland es schön dargestellt hat:

\(\exp(0\cdot 2\pi i/5), \; \exp(1\cdot 2 \pi i/5), \; \exp(2\cdot 2 \pi i/5),\)

\(\exp(3\cdot 2 \pi i/5), \; \exp(4\cdot 2 \pi i/5)\).

Es gilt \(\exp(\phi\cdot i)=\cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi)\).