Beweis mit vollständiger Induktion

Question

Aufgabe:

Vollständige Induktion (Produktzeichen Frage)

Zeigen Sie per Vollständiger Induktion:
a) Für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) und alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt: \( (1-x) \prod \limits_{k=0}^{n}\left(1+x^{2^{k}}\right)=1-x^{2^{n+1}} \)

Problem/Ansatz:

Will eigentlich nur wissen was mit dem (x-1) vor dem Produktzeichen zu tun ist

Comments

Will eigentlich nur wissen was mit dem (x-1) vor dem Produktzeichen zu tun ist

Nicht spezielles...

IA: \( (1-x)(1+x) = 1 - x^2 \)

IS:

\( (1-x) \prod \limits_{k=0}^{n+1}\left(1+x^{2^{k}}\right) = (1-x) \prod \limits_{k=0}^{n}\left(1+x^{2^{k}}\right) \cdot \left(1+x^{2^{n+1}}\right) \\\stackrel{\text{IV}}{=} \left( 1-x^{2^{n+1}}\right) \left(1+x^{2^{n+1}}\right) = 1 - x^{2^{n+2}}  \)