Aufgabe:
Sei \( V:=\operatorname{Pol}_{2} \mathbb{R} \cong \mathcal{C}^{0}([0,1]) \) der Vektorraum alle Polynome auf dem Intervall \( [0,1] \) mit Grad maximal 2 versehen mit dem Skalarprodukt
\( \langle p \mid q\rangle=\int \limits_{0}^{1} p(x) q(x) \mathrm{d} x \)
aus Beispiel \( 2.5 .3 \) und zugehöriger Norm \( \|p\|=\sqrt{\langle p \mid p\rangle} \). Bestimmen Sie ein Orthonormalsystem \( B: b_{1}, b_{2}, b_{3} \) von \( V \), d.h. \( \left\langle b_{j} \mid b_{k}\right\rangle=1 \) falls \( j=k \) und \( \left\langle b_{j} \mid b_{k}\right\rangle=0 \) sonst. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(a) Wählen Sie \( b_{1} \) als ein normiertes konstantes Polynom, d.h. \( \left\|b_{1}\right\|=1 \).
(b) Wählen Sie \( b_{2}(X)=a_{1} X+a_{0} \in V \) so dass \( \left\langle b_{2} \mid b_{1}\right\rangle=0 \) und \( \left\|b_{2}\right\|=1 \) gilt.
(c) Wählen Sie \( b_{3}(X)=a_{2} X^{2}+a_{1} X+a_{0} \in V \) so dass \( \left\langle b_{3} \mid b_{1}\right\rangle=\left\langle b_{3} \mid b_{2}\right\rangle=0 \) und \( \left\|b_{3}\right\|=1 \) gilt
(d) Bildet \( B \) auch eine Basis?
Problem/Ansatz:
bis zur a) habe ich es geschafft. Da habe ich einfach 1
Allerdings komme ich nicht ganz zurecht mit Polynomen. Wie bildet man hier das Skalarprodukt?
wie gehe ich bei der b) vor?
