Sei Fq ein Körper mit q Elementen.Bestimmen Sie die Mächtigkeit von GL n(F q)

Question

Aufgabe:

Sei F_q ein Körper mit q Elementen.Bestimmen Sie die Mächtigkeit von GL _n(F _q)  

Problem/Ansatz:

Wir haben leider keine Ahnung wie wir überhaupt anfangen sollen .

Answer 1

Tipp:

nehmen wir mal an, dass wir die ersten \(k<n\) Spalten einer invertierbaren

\(n\times n\)-Matrix bereits gewählt haben, dann darf die \(k+1\)te Spalte

keine Linearkombination der ersten \(k\) Spalten sein. Die \(k\) ersten

Spalten spannen einen \(k\)-dimensionalen Unterraum von \(\mathbb{F}_q^n\) auf.

Dieser besitzt \(q^k\) Elemente, d.h. für die Wahl der Spalte \(k+1\)

stehen \(q^n-q^k\) Elemente zur Verfügung ...