eine Gleitspiegelung angeben

Question

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Aufgabe 3 (3 Punkte)
Betrachten Sie das Dreieck \( A B C \) gegeben durch die Punkte \( A(0 \mid 0), B(4 \mid 0), C(4 \mid 2) \) und das Dreieck \( A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \) gegeben durch die Punkte \( A^{\prime}(12 \mid 8), B^{\prime}(12 \mid 4), C^{\prime}(10 \mid 4) \) im kartesischen Koordinatensystem. Diese Dreiecke sind kongruent und haben einen verschiedenen Umlaufsinn. Geben Sie eine Gleitspiegelung, die das Dreieck \( A B C \) auf das Dreieck \( A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \) abbildet, an.

Kann mir hier jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Ich weiss leider nicht wie ich das angeben soll.

Answer 1

Man mache sich einen Plan

Da kann man ablesen

\(  \Delta\left(X \right) = \left(\begin{array}{rr}0&-1\\-1&0\\\end{array}\right)\; X + \left( \begin{array}{r}12 \\ 8 \end{array} \right) \)

oder auch formal rechnen...

Comments

Zitat:

... Gleitspiegelung oder Schubspiegelung ... handelt es sich um die Hintereinanderausführung einer Parallelverschiebung und einer Geradenspiegelung, bei der die Verschiebung parallel zur Geraden geschieht.

D.h. um eine Gleitspiegelung festzulegen, ist eine Spiegelachse (Gerade) \(s\) zu nennen und ein Verschiebevektor \(\vec t\), der parallel zu dieser Geraden verläuft.

Also hier:$$s:\space \vec x=\begin{pmatrix}6\\ 4\end{pmatrix} + \lambda \cdot \vec t,\quad \vec t = \begin{pmatrix}2\\ -2\end{pmatrix}$$

siehe auch diesen Kommentar.

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Hatte ich so nicht mehr auf dem Schirm, danke.

Dann hätten wir also die Abbildung

\(Θ(X) = \left(\begin{array}{rr}0&-1\\-1&0\\\end{array}\right) \; \left( X - \left( \begin{array}{r}5 \\ 5 \end{array} \right) \right)  + \left( \begin{array}{r}5+2 \\ 5-2 \end{array} \right) \)

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Ja so ist es.

Die Abbildungsmatrix \(M\) zu berechnen, geht ja vergleichsweise 'straight forward'. In homogenen Koordinaten lässt es sich direkt schreiben:$$M= \begin{pmatrix}A'& B'& C'\\ 1& 1& 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}A& B& C\\ 1& 1& 1\end{pmatrix}^{-1} \\\phantom{M} = \begin{pmatrix}0& -1& 12\\ -1& 0& 8\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$$aber das muss ja jetzt nicht zwingend eine Gleitspiegelung sein.

Ok - der rotatorische Teil muss orthogonal und seine Deteminante muss \(=-1\) sein. Das ist hier der Fall. Ich muss mal überlegen, wie man das \(\vec t\) raus kitzelt ;-)

Mmh!? ist $$M= \begin{pmatrix}\underline R& \vec p\\ 0& 1\end{pmatrix} $$dann ist doch$$\vec t=M \begin{pmatrix}\vec p/2\\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\vec p/2\\ 1\end{pmatrix}=(M-\underline 1) \begin{pmatrix}\vec p/2\\ 1\end{pmatrix}$$da jeder Punkt auf der Spiegelachse - also auch \(\vec p/2\) - durch die Abbildung nur um \(\vec t\) verschoben wird.