Intervalle berechnen wie?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Funktion \(f(x):=x^{2}\)

auf den Intervallen \( I_{1}=[0, \infty), I_{2} \quad(-\infty, 0], I_{3}=(-\infty, \infty) \) auf Monotonie. Begründen Sie Ihre Antworten.
Hinweis: Falls Monotonie vorliegt, geben Sie bitte an, ob es sich um strenge Monotonie handelt.

Betrachten Sie die Funktion \( f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty), x \mapsto \frac{1}{x} \)

a) Begründen Sie mit einem geeigneten Resultat aus der Vorlesung, dass \( f \) eine Umkehrfunktion besitzt.
b) Geben Sie für die Umkehrfunktion Definitions- und Wertebereich sowie Funktionsvorschrift an.

Problem/Ansatz:

Kann mir einer bei den Aufgaben helfen ?

Comments

Kann mir einer bei den Aufgaben helfen ?

Wie soll das gehen, wenn in der Aufgabe steht

mit einem geeigneten Resultat aus der Vorlesung

??

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Die erste Aufgabe nicht die untere

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Bei der Untersuchung komme ich durch einander

Answer 1

Im Intervall I1 = [0 ; ∞)

Nimm ein a und a + h mit a ∈ I1 und h > 0

dann ist a < a + h

gilt dann auch

f(a) < f(a + h)

a^2 < (a + h)^2 = a^2 + 2ah + h^2

0 < 2ah + h^2

Da 2ah + h^2 positiv ist, ist die Funktion im Intervall I1 streng monoton steigend.

Du kannst auch mit der Ableitung argumentieren

f(x) = x^2

f'(x) = 2x

Für x ∈ I1 \ {0} ist die Ableitung positiv und damit ist die Funktion streng monoton steigend. Eine einzelne Nullstelle ändert an dieser strengen Monotonie nichts.