Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Begründen Sie Ihre Antwort. Geben Sie im letzten Fall die Umkehrfunktion an.

(a) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}, x \mapsto|x| \)
(b) \( g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, n \mapsto n+1 \)
(c) \( h: \mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{Z}, n \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\frac{n}{2}, & \text { wenn } n \text { gerade } \\ -\frac{n+1}{2}, & \text { wenn } n \text { ungerade }\end{array}\right. \)

Answer 1

Zu a): Die Abbildung ist surjektiv, aber nicht injektiv, betrachte z.B. den Wert 2, der 2 Urbilder hat, nämlich -2 und 2.

Zu b): injektiv, aber nicht surjektiv, betrachte den Wert 1 aus IN, welcher keinen Urbild hat.

Zu c): Scheint bijektiv zu sein.