weise nach, dass dZ ⊆ aZ + bZ
Sei \(x \in d\mathbb{Z}\).
Sei \(v\in \mathbb{Z}\) mit \(x = vd\). Ein solches \(v\) existiert laut Definition von \(d\mathbb{Z}\).
Seien \(p,q \in \mathbb{Z}\) mit \(d = pa+qb\). Solche \(p\) und \(q\) existieren, weil sie wegen \(d=\operatorname{ggT}(a,b)\) mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus berechnet werden können.
Dann ist
\(x = vd = v(pa+qb) = (vp)a + (vq)b\).
Wegen \(v\in \mathbb{Z}\) und \(p\in \mathbb{Z}\) und weil \(\mathbb{Z}\) ein Ring ist, ist \(vp\in\mathbb{Z}\).
Wegen \(vp\in\mathbb{Z}\) ist \((vp)a \in a\mathbb{Z}\).
Analog dazu ist \((vq)b \in b\mathbb{Z}\).
Also ist laut Defnition der Mengenaddition \((vp)a + (vq)b \in a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\).
Also ist auch \(x\in a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\).
d ∈ N ist ein ggT von a
Der \(\operatorname{ggT}\) wird üblicherweis von mindestens zwei Zahlen bestimmt.
Daraus folgt, dass der ggT existiert.
Wegen \(1|a\) und \(1|b\) für alle \(a,b\in\mathbb{Z}\) existiert \(\operatorname{ggT}(a,b)\) immer. Findet man keinen größeren gemeinsamen Teiler als \(1\), dann ist halt \(\operatorname{ggT}(a,b) = 1\). Du brachst deshalb nicht extra zu schlussfolgern, dass der \(\operatorname{ggT}\) existiert.
Wie beweise ich das mit zwei Schritten bzw. mit doppelter Inklusion?
Der eine Schritt ist, dass du die Inklusion \(d\mathbb{Z} \subseteq a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\) zeigst.
Der andere Schritt ist, dass du die Inklusion \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\subseteq d\mathbb{Z}\) zeigst.
Den einen Schritt habe ich dir oben gezeigt. Zum anderen Schritt:
Sei \(x\in a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\).
Seien \(p,q \in \mathbb{Z}\) mit \(pa+qb = x\). Begründe warum solche \(p\) und \(q\) existieren.
Seien \(r,s \in \mathbb{Z}\) mit \(rd = a\) und \(sd = b\). Begründe warum solche \(r\) und \(s\) existieren.
Begründe damit, warum \(x\in d\mathbb{Z}\) ist.
