Aufgabe: symmetrische Gruppen, Elemente in Darstellungsform angeben
Problem/Ansatz:
Ich komm überhaupt nicht weiter; bei der Nummer 2, würde es gerne verstehen aber habe wirklich keine Zeit mehr.
Text erkannt:
Es sei \( S_{n} \) die symmetrische Gruppe von Grad \( n \). Für ein Element \( \pi \in S_{n} \) gibt es verschiedene Darstellungsformen. In der Zweizeilenform
\( \pi=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \ldots & n \\ \pi(1) & \pi(2) & \ldots & \pi(n) \end{array}\right) \)
wird in der ersten Zeile das Urbild und in der zweiten Zeile das zugehörige Bild dargestellt. Eine Alternative ist die Darstellung durch Zyklen der Länge \( k \leq n \). Man wählt eine beliebige Zahl \( a \in\{1,2, \ldots, n\} \) und schreibt
\( \pi=\left(\begin{array}{lllll} a & \pi(a) & \pi^{2}(a) & \ldots & \pi^{k-1}(a) \end{array}\right. \)
wobei \( k=\min \left\{l \in \mathbb{N} \mid \pi^{l}(a)=a\right\} . \) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass \( S_{3}=\left\{\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}, \sigma_{4}, \sigma_{5}, \sigma_{6}\right\} . \)
(a) Geben Sie alle Elemente von \( S_{3} \) in beiden Darstellungsformen an.
(b) Zeigen Sie, dass alle möglichen Kompositionen \( \sigma_{i} \circ \sigma_{j}, \sigma_{i}, \sigma_{j} \in S_{3} \), wieder in \( S_{3} \) liegen.
(c) Geben Sie das neutrale Element \( \hat{\sigma} \) an,
\( \sigma_{i} \circ \hat{\sigma}=\sigma_{i}=\hat{\sigma} \circ \sigma_{i}, \quad \forall \sigma_{i} \in S_{3} \)
(d) Geben Sie die Inversen der Gruppenelemente \( \sigma_{i}^{-1} \) an,
\( \sigma_{i}^{-1} \circ \sigma_{i}=\hat{\sigma}=\sigma_{i} \circ \sigma_{i}^{-1}, \quad \forall i \in\{1,2,3,4,5,6\} \)
D amit haben Sie gezeigt, dass \( S_{3} \) tats ächlich eine Gruppe ist.
Aufgabe \( 3: \quad \) (5 Punkte)
Sei \( n \in \mathbb{N} \). Es sei \( 0_{n} \) und \( E_{n} \) die \( n \times n \) Nullmatrix bzw. Einheitsmatrix. Wir betrachten die symplektische Gruppe vom Grad \( 2 n \)
