Nullmatrizen, Einheitsmatrix Zeigen Sie die folgenden Aussagen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( n \in \mathbb{N} \). Es sei \( 0_{n} \) und \( E_{n} \) die \( n \times n \) Nullmatrix bzw. Einheitsmatrix. Wir betrachten die symplektische Gruppe vom Grad \( 2 n \)
\( \mathrm{Sp}_{2 n}(\mathbb{R}):=\left\{M \in \mathbb{R}^{2 n \times 2 n} \mid M^{T} \cdot\left(\begin{array}{cc} 0_{n} & E_{n} \\ -E_{n} & 0_{n} \end{array}\right) \cdot M=\left(\begin{array}{cc} 0_{n} & E_{n} \\ -E_{n} & 0_{n} \end{array}\right)\right\} \)
Zeigen Sie folgende Aussagen:
(a) Für \( M \in \mathrm{Sp}_{2 n}(\mathbb{R}) \) gilt det \( M=\pm 1^{1} \). Insbesondere ist jede symplektische Matrix invertier bar.
(b) Eine Matrix \( M \in \mathbb{R}^{2 n \times 2 n} \), dargestellt durch Matrizen \( A, B, C, D \in \mathbb{R}^{n \times n} \)
\( M=\left(\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right) \)
liegt genau dann in \( \mathrm{Sp}_{2 n}(\mathbb{R}) \), wenn \( A^{T} C=C^{T} A, B^{T} D=D^{T} B \) und \( A^{T} D-C^{T} B=E_{n} \).
(c) Für \( M \in \mathrm{Sp}_{2 n}(\mathbb{R}) \) wie in Teil (b) gilt
\( M^{-1}=\left(\begin{array}{cc} D^{T} & -B^{T} \\ -C^{T} & A^{T} \end{array}\right) \)
Aufgabe 4: (3 Punkte)
Wir betrachten die Vektoren
\( v_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \)
des \( \mathbb{R}^{3} \). Ist \( \left\{v_{1}, v_{2}\right\} \) eine \( \mathrm{B} \) asis von \( \mathbb{R}^{3} ? \) Ist \( \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} \) eine Basis von \( \mathbb{R}^{3} ? \) Begründen Sie Ihre, Antworten.

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

Zu (a)

Du musst zuerst per Induktion beweisen das gilt

$$ \det \begin{pmatrix} 0_n & E_n \\ -E_n & 0_n \end{pmatrix} = 1 $$ gilt. Den Induktionsanfang kann man leich ausmultiplizieren.

Da $$ M^T \begin{pmatrix} 0_n & E_n \\ -E_n & 0_n \end{pmatrix} M = \begin{pmatrix} 0_n & E_n \\ -E_n & 0_n \end{pmatrix} $$ gilt, folgt damit

$$ \det M^T \det M =  (\det M )^2 = 1 $$ also $$ \det M = \pm1 \ne 0 $$ Damit ist \( M \) u.a. invertierbar.

Zu (b)

Da für die Matrix \( M \) die Beziehung $$ M^T \begin{pmatrix} 0_n & E_n \\ -E_n & 0_n \end{pmatrix} M = \begin{pmatrix} 0_n & E_n \\ -E_n & 0_n \end{pmatrix} $$ gilt, folgt durch Ausmultiplizieren der Blockmatrizen, ähnlich wie normale Matrizen, siehe https://www.massmatics.de/merkzettel/#!319:Multiplikation_von_Blockmatrizen

die Beziehungen die in (b) nachgewiesen werden müssen.

zu (c)

Hier muss einfach die spezielle Matrix $$ M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} $$ mit der angegebenen Matrix \( M^{-1} = \begin{pmatrix} D^T & -B^T \\ -C^T & A^T \end{pmatrix} \) multipliziert werden (Blockmatrizen) und es müssen die Beziehungen aus (c) benutzt werden.

Comments

Bzgl. (a)

\( \det \begin{pmatrix} 0_n & E_n \\ -E_n & 0_n \end{pmatrix} = 1 \) schaumal hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Blockmatrizen

dann kannst Du dir die Induktion sparen.