Beweisen und zeigen einer Funktion

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Eine Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) heißt  ungerade, falls stets \( f(-x)=-f(x) \) für \( x \in \mathbb{R} \) gilt, und \( f \) heißt  gerade, falls stets \( f(-x)=f(x) \) für \( x \in \mathbb{R} \) gilt.
(i) Zeigen Sie, dass das Produkt zweier ungerader Funktionen gerade ist.
(ii) Zeigen Sie, dass die Summe zweier ungerader Funktionen ungerade ist.
(iii) Begründen Sie, dass \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x \sin x \), eine gerade Funktion ist.

Hallo liebe Community,

Weiß einer den Ansatz solcher Aufgaben? Wie man am besten die zeigen kann und oder begründen kann? Komme da nicht weiter :/

Answer 1

(i)  h ist eine gerade Funktion

<=>  h(-x)=h(x) .

Verwende das für das Produkt von f und g, etwa so:

Sind also f und g ungerade und es ist h(x)=f(x)*g(x) dann gilt:

h(-x)=f(-x)*g(-x) [wiel h,g ungerade also ]

=(-f(x))*(-g(x))= f(x)*g(x)=h(x)

Somit h(-x)=h(x)   q.e.d.

(ii) und (iii) geht ähnlich

Comments

Dankeschön :)

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f(x) = x * sin(x)
Ist f(-x) = f(x) 
f(-x) = (-x) * sin(-x) = (-x) * (-sin(x)) = x * sin(x) = f(x)

Ist es so richtig bei iii?

Aber bei ii bin ich bisschen verwirrt

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iii ist ok.

Bei ii zeige ähnlich wie bei a, dass für

h(x)=f(x)+g(x) gilt

h(-x)= - h(x)