Gegenbeispiel Funktion beschränkt

Question

Aufgabe:

Es seien \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). Beweisen oder widerlegen (mit einem Gegenbeispiel) Sie, dass Folgendes gilt:
(i) \( f, g \) beschränkt \( \Longrightarrow f+g \) beschränkt,
(ii) \( f, g \) beschränkt \( \Longrightarrow f \cdot g \) beschränkt,
(iii) \( f, g \) monoton wachsend \( \Longrightarrow f+g \) monoton wachsend,
(iv) \( f, g \) monoton wachsend \( \Longrightarrow f \cdot g \) monoton wachsend.

Problem/Ansatz:
Was meint man bei der Aufgabe mit Gegenbeispiel?

Comments

Gegenbeispiel bezieht sich auf das Widerlegen. Wenn du zeigen sollst, dass etwas nicht IMMER gilt dann genügt ein Beispiel, dass deine Annahme widerlegt.

Answer 1

Hier stimmt z.B. (iv) nicht.

Betrachte für alle x∈ℝ mit x>0 die Funktionen mit

f(x)= -1/x   und g(x) = -1 / x^2

die sind beide monoton wachsend, aber ihr Produkt nicht.