Widerspruchsbeweis von "Wenn m + n gerade ist, dann ist m^2 + n^2 gerade"

Question

Aufgabe:

Widerspruchsbeweis von: "Wenn m + n gerade ist, dann ist m^2 + n^2 gerade"

Ansatz:

Nach meinem Verständnis müsste es ja heißen, dass "m + n = ungerade" der Wiederspruch für "m^2 + n^2 = gerade" ist.

Wie man das jedoch beweist, weiß ich nicht.

Comments

A => B

Zeigt man per Widerspruch so: A setzt man als wahr voraus und dann nimmt man an B gelte nicht, das führt man dann zu einem Widerspruch.

Sei also m+n gerade und angenommen \( m^2 + n^2 \) ist ungerade.

Dann ist auch \( m^2+n^2 + 2nm \) ungerade (ungerade Zahl + gerade Zahl = ungerade Zahl), somit ist also \( (m+n)^2 \) ungerade.

Wegen m+n gerade existiert ein k mit m+n=2k, insbesondere ist \( (m+n)^2 = (2k)^2 = 2 \cdot (2k^2) \) gerade. Widerspruch.

Wie du hoffentlich siehst ist das im Prinzip nur eine Vergewaltigung des direkten Beweises.

Answer 1

Ein Widerspruchsbeweis ist hier eher eine künstliche

Verschlimmbesserung der Lage.

Also, auch wenn es dir vielleicht nichts nützt, hier eine direkte Variante:

\(m+n\) gerade \(\Rightarrow (m+n)^2\) gerade \(\Rightarrow m^2+n^2=(m+n)^2-2mn\) gerade.

Comments

Danke, allerdings wäre dies doch einfach nur der Beweis dafür das m^2 + n^2 gerade ist, der Wiederspruchbeweis wäre dies jedoch nicht oder liege ich falsch?

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Da hast du Recht. Aber es wäre mir zuwider, in diesem Falle
einen Widerspruchsbeweis zu führen. Ich halte diese Art von
Aufgabe für didaktisch abwegig.

Vielleicht gibt es da ja noch einen anderen Helfer, der dir einen
solchen Beweis liefert.

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Das ein Widerspruchsbeweis an dieser Stelle nicht Sinnvoll ist, ist mir klar, dennoch muss ich einen Widerspruchsbeweis anwenden.

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Ich kann dir guten Gewissens nur noch einen Beweis der
Kontraposition anbieten. Vielleicht kannst du den in einen
Widerspruchsbeweis umbauen:

Sei \(m^2+n^2\) ungerade, dann ist entweder

\(m^2\) gerade und \(n^2\) ungerade oder

\(n^2\) gerade und \(m^2\) ungerade,

woraus folgt, dass entwerder \(m\) gerade und \(n\) ungerade

oder \(n\) gerade und \(m\) ungerade.

Wegen "Gerade"+"Ungerade"="Ungerade" hat man so:

\(m+n\) ist ungerade.

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Dann hoffe ich mal das jemand anderes noch nh Antwort hat aber trotzdem vielen Dank :)

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... dennoch muss ich einen Widerspruchsbeweis anwenden.

Dann nimm an, dass \(m^2+n^2\) in diesem Fall nicht gerade ist, also$$2\mid (a+b) \implies 2\nmid (m^2+n^2) \quad ?$$Jetzt kommt es darauf an, was man voraussetzen kann. Ich nehme mal an, es ist zulässig, anzunehmen, dass die Pariäten einer Summe ungleich sein müssen, wenn die Summe nicht gerade ist.

Zur Parität \(p(x)\): Ich definiere eine Funktion \(p(x)\), die einer Zahl \(x \in \mathbb N\) ein Element der Menge \(\mathcal P\) zuweist.$$ p(x): \space \mathbb N \to \mathcal P, \quad \mathcal P = \{\text{gerade},\,\text{ungerade}\} \\ 2\mid x \implies p(x)= \text{gerade} \\ 2\nmid x \implies p(x)= \text{ungerade}$$Ich setze voraus:$$\begin{aligned}p(x+y) &= \text{ungerade} &\Leftrightarrow p(x) \ne p(y) \\p(x+y) &= \text{gerade} &\Leftrightarrow p(x) = p(y)\end{aligned}$$Für das Quadrat setze ich weiter voraus:$$p(x^2) = p(x)$$Dann ist der Werkzeugkasten bei einander und wenn man nun davon ausgeht, dass die Annahme nicht wahr ist, ergibt sich die logische Folge$$p(m+n) = \text{gerade}\stackrel{?}{\implies} p(m^2+n^2) \ne \text{gerade} \\\implies p(m^2+n^2) = \text{ungerade}, \quad \text{da}\space |\mathcal P| = 2\\ \implies p(m^2) \ne p(n^2) \\ \implies p(m) \ne p(n) \\ \implies p(m+n) = \text{ungerade}$$... und das ist ein Widerspruch zu der ursprünglichen Annahme, dass die Summe \(m+n\) gerade ist.