Bei dir fehlen in der Vorschrift 2 Zweier vor k2 und k3
Ein Runge-Kutta Verfahren hat ja immer die Form
$$ y_{n+1} = y_n + h \sum_{j=1}^s b_j k_j $$
mit
$$ k_j = f\left(t_n + h c_j, y_n + h \sum_{l=1}^s a_{jl} k_l \right),\,j=1,...,s. $$
Du kannst die Zahlen \( a_{ij}, ~~b_j, ~~c_j \) jetzt einfach übersichtlich in eine Tabelle schreiben:
$$\begin{array}{c|c} \mathbf{c} & A\\\hline & \mathbf{b^T} \\\end{array}$$
$$= \begin{array}{c|cccc} c_1 & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\ c_2 & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\ c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss}\\\hline& b_1 & b_2 & \dots & b_s\\\end{array}$$
Wenn du jetzt ein bestimmtes Verfahren nutzen möchtest schlägst du einfach die Tabelle nach und setzt dann ein. Für das klassische Runge Kutta Verfahren sieht die so aus:
$$ \begin{array}{c|cccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline & 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6 \end{array} $$
Probiers mal aus. Kommt genau die Formel von oben raus.
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Aber ja, das klassische Runge Kutta Verfahren liefert hier extrem schlechte Ergebnisse. Die Schrittweite von h = 1 ist für den Start einfach VIEL zu groß. Das Verfahren divergiert deshalb ziemlich schnell.
Wenn du zB h = 1/16 arbeitest konvergiert das Verfahren gegen die Lösung.
