Aussagen zu Wurzeln wahr oder falsch?

Question

Aufgabe:

Erklären Sie die vorkommenden Begriffe und warum welche Behauptung stimmt: Für jedes k aus {1, 2, 3, . . .} gilt

(a) wenn z eine 2k–te Wurzel von 1 ist, so ist z auch eine k–te Wurzel von 1.
(b) wenn z eine k–te Wurzel von 1 ist, so ist z auch eine 2k–te Wurzel von 1.

Problem/Ansatz:

Wie genau kann man sich das aufschreiben in einer Gleichung? bzw. was wäre dazu das Ergebnis

Answer 1

(a) kannst du schreiben als:

\(z^{2k}=1\Rightarrow z^k=1\)

und (2):

\(z^k=1\Rightarrow z^{2k}=1\).

Über die allgemeine Gültigkeit dieser beiden Aussagen solltest du

nun in aller Ruhe intensiv nachdenken !

Das Denken will ich dir nicht abnehmen ;-)

Stelle dir die n-ten Einheitswurzeln als Eckpunkte eines regelmäßigen

n-Ecks in der komplexen Ebene vor !

Comments

Danke für deine Antwort, ich hab darüber nachgedacht und mir folgendes überlegt

Annahme:

a) Falsch, weil ich eine kleinere Wurzel mit weniger "Ergebnissen" nicht in eine größere reinpacken kann (z.B. in ein 1/4 kann man nicht 1/2 reinpacken).

b) Richtig genau das Beispiel von a nur umgekehrt.

Frage:

Stimmen meine Annahmen und kann man das vielleicht irgendwie besser (mathematischer) formulieren?

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Wäre (a) wahr, dann würde das bedeuten, dass jede Ecke eines

regelmäßigen 2n-Ecks auch Ecke eines regelmäßigen n-Ecks ist,

was natürlich Blödsinn ist.

Zu (b) Ist \(x^k=1\), dann ist

\(x^{2k}=(x^k)^2=1^2=1\).