In einem Körper ist die Multiplikation kommutativ.
(1) (K, +) ist eine abelsche Gruppe.
Auf K := {0, 1} gibt es nur eine Möglichkeit, wie die Addition definiert sein kann.
(2) (K \ {0}, ·) ist eine abelsche Gruppe.
Das garantiert Kommutativität der Multiplikation auf K\{0}, aber nicht auf ganz K.
Wäre K ein Körper, dann müsste die Multiplikation aber auf ganz K kommutativ sein.
(3) ∀a, b, c ∈ K : a(b + c) = ab + ac.
Wäre die Multiplikation auf ganz K kommutativ, dann würde daraus
(3') ∀a, b, c ∈ K : (b + c)a = ba + ca
folgen. Das Axiom (3') fehlt aber gegenüber der üblichen Formulierung der Körperaxiome. Also muss K die Kommutativität der Multiplikation auf K verletzen.
ein Gegenbeispiel für K := {0, 1}
Die Kommutativität der Multiplikation auf K kann unter Beachtung von (2) nur dann verletzt sein, wenn 0·1 ≠ 1·0 ist.
Stelle geeignete Verknüpfungstafeln für Addition und Multiplikation auf, die (1), (2) und (3) erfüllen, bei der aber die Multiplikation auf K nicht kommutativ ist.