Logik in Gruppe: M=(M,*,e) a*b=b*a

Question

Hallo liebe Mitglieder :)

Es geht um die algebraische Struktur einer Gruppe: M=(M,*,e)

Die Gruppe ist assoziativ, das neutrale Element sei e so dass gilt

a*e=a  für alle a,e∈M und es gibt ein ã so dass

a*ã=e  mit ã∈M.

Die Frage lautet: Wenn gilt a*a=e dann gilt auch a*b=b*a für alle a,b∈M. Beweisen sie.

Problem/Ansatz:

Ich schiebe schon die ganze Zeit die a und b hin und her und versuche mit e zu ersetzen aber komme auf keine Schlussfolgerung. Hatte überlegt:

a*a=e

⇒ a*a=a*ã

⇒ a=ã

⇒ a*b=b*ã...  vermutlich ergibt das kein Sinn bzw. hilft nicht weiter...

Freue mich über Hilfe bzw. eine Lösung.

Vielen Dank vorweg!

Comments

In Wenn gilt a*a=e dann gilt auch a*b=b*a für alle a,b∈M müssen die Quantoren eindeutiger gesetzt werden. Es ist jedenfalls nicht so, dass aus a^2=e folgt, dass a mit allen anderen Gruppenelementen kommutiert.

Answer 1

Hallo,

wenn \(a^2=a*a=e\) gilt, dann kannst du von links mit \(\tilde{a}\) verknüpfen und hast \(a=\tilde{a}\). Analog \(b=\tilde{b}\). Dann gibt aber auch \(ab=\widetilde{ab}\) und damit: \(ab=\widetilde{ab}=\tilde{b}\tilde{a}=ba\)

Comments

Okay vielen Dank!

Da wäre ich so nicht drauf gekommen :)