Zeigen sie das |g(x)-g(y)| < |x-y| für x,y >= 0

Question

Aufgabe:

Zeigen sie das |g(x)-g(y)| <= |x-y|

Problem/Ansatz:

Hallo, leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter.

Wir haben die Funktion g: [0,∞) -> [0, ∞) mit g(x) = x + 1/(1+x) für x >= 0. Zu zeigen ist das

|g(x) - g(y)| < |x-y|.

Jetzt habe ich natürlich erstmal mit der Definition von g gearbeitet,also:

|g(x) - g(y)| = | x + 1/(1+x) - (y + 1/(1+y))| und das 1/(1+x) kann ich nach oben durch 1 abschätzen, also

<= | x + 1 - (y + 1/(1+y))| . Leider weiss ich nicht, wie ich hier weiter machen könnte.

Wäre sehr verbunden, wenn mir da jemand helfen kann

Answer 1

\(   | x+\frac{1}{1+x}    - ( y+\frac{1}{1+y})                 |\)

\( = | (x-y)+\frac{1}{1+x}   - \frac{1}{1+y})                |\)

\( = | (x-y)+\frac{y-x}{(1+x)(1+y)}            |\)

\( = | (x-y) -\frac{x-y}{(1+x)(1+y)}            |\)

\( = | (x-y) \cdot (1 -\frac{1}{(1+x)(1+y)}     |\)

\( = | (x-y) | \cdot | (1 -\frac{1}{(1+x)(1+y)}    |\)

Für nichtnegative x,y ist der zweite Faktor zwischen 0 und 1

\(  \lt | (x-y) | \)

Answer 2

Es ist \(g'(x)=1-\frac{1}{(1+x)^2}\lt 1\) für alle \(x\geq 0\).

Nun wende den Mittelwertsatz der Differenzialrechnug an.