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zu a) Eine Basis von \(U_1\) finden wir, indem wir die Bedingungsgleichung \(x_1+x_3=0\) in \(x_3=-x_1\) umschreiben und alle möglichen Vektoren von \(U_1\) angeben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\-x_1\\x_4\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$Damit lautet eine mögliche Basis:$$\operatorname{Basis}U_1=\left(\;\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\;\right)$$
Eine Basis von \(U_2\) finden wir, indem wir die linearen Ahängigkeiten aus dem Span von herausrechnen. Dazu tragen wir die Vektoren als Spalten in eine Matrix ein und bringend diese durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckgestalt (oder besser):$$\begin{array}{rrrr} & -S_1 & -S_1 & -S_1\\\hline1 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 1 & 2\\1 & 1 & 0 & 0\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} -S_2 & \cdot(-1) & -S_2 & \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\1 & -1 & -1 & 0\\1 & -1 & 0 & 1\\1 & 0 & -1 & -1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} & -S_3 & & -S_3\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & -1 & -1\end{array}$$$$\to\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 & \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\1 & 1 & -1 & 0\end{array}$$Es bleiben drei linear unabhängige Vektoren übrig:$$\operatorname{Basis}U_2=\left(\;\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}\;\right)$$
zu b) Wir kennen die Bedinungsgleichung \(x_3=-x_1\) für die Zugehörigkeit zu \(U_1\). Für die Zugehörigkeit zu \(U_2\) kann man aus der angegebenen Basis die Bedingungsgleichung \(x_4=x_1+x_2-x_3\) ablesen. Zur Bestimmung einer Basis von \(U_1\cap U_2\) müssen beide Bestimmungsgleichungen erfüllt sein. Dazu stellen wir fest, dass dann \(x_4=2x_1+x_2\) gilt und schreiben alle Vektoren von \(U_1\cap U_2\) auf:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\-x_1\\2x_1+x_2\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\2\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}$$Damit haben wir eine Basis gefunden:$$\operatorname{Basis}\left(U_1\cap U_2\right)=\left(\;\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\2\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}\;\right)$$
zu c) Eine Basis für Vektoren, die aus \(U_1\) oder aus \(U_2\) stammen, können wir schnell angeben. Nehmen wir den Basisvektor \((0|0|0|1)^T\) aus der Basis von \(U_1\) und geben ihn zur Basis von \(U_2\) hinzu, erkennt man sofort, dass die Standardbasis der \(\mathbb R^4\) eine Basis von \((U_1+U_2)\) ist.
