Basis eines Sumenraumes U1 + U2

Question

Hallo ich soll die Basis des Summenraumes U₁ + U₂ bestimmen.

U₁ = Lin {v1, v2, v3} ⊆ ℝ⁴

U₂ = Lin{w1, w2, w3} ⊆ ℝ⁴

$$ v1\quad =\quad \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) ,\quad v2\quad =\quad \left( \begin{matrix} -1 \\ 6 \\ 9 \\ 3 \end{matrix} \right) ,\quad v3\quad =\quad \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 6 \\ 1 \end{matrix} \right) ,\quad w1\quad =\quad \left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ -6 \\ 2 \end{matrix} \right) ,\quad w2\quad =\quad \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right) ,\quad w3\quad =\quad \left( \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ -12 \\ 5 \end{matrix} \right)  $$

Kann mir jemand zeigen wie ich das anstelle?

Danke

Answer 1

Ein Erzeugendensystem für U₁ + U₂   ist zunächst mal  {v1, v2, v3} ∪ {w1, w2, w3}.

Nun ist z.B. w1 = 2*v1 ; deshalb kann man w1 weglassen und hat mit 

{v1, v2, v3, w2, w3} immer noch ein Erzeugendensystem.

Jetzt schaust du welchen von den 5-en du durch die anderen 4 darstellen

kannst.  Den kannst du dann wieder weglassen, bis am Ende

nur noch ein lin. unabhängiges Erzsystem übrig bleibt.

Das ist dann die ges. Basis.