Zeigen das der Schnitt nicht leer ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen das der Schnitt nicht leer ist.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Seien (X,μ) ein metrischer Raum und (A_{k) k ∈ ℕ}  ⊆ P(X) eine Familie nicht leerer, kompakter Teilmengen von X mit A₁  ⊇ A₂  ⊇ A₃  ⊇ ... Zeigen Sie dass ∩_k∈ℕ  A_k  ≠ ∅.

Die Frage die ich mir stelle ist, ob ich mir das zu einfach vorstelle ? Ich könnte ja einfach argumentieren das der Schnitt dieser Ak's gleich den Elementen des letzten Familienmitgliedes ist und da dieses nach Voraussetzung nicht leer ist, kann der Schnitt demnach auch nicht leer sein. Übersehe ich hier einen wichtigen Satz ? Oder ist die Aufgabe wirklich so einfach ?

Vielen Dank schonmal für eventuelle Hinweise

Comments

Du übersiehst das es sich um eine unendlich abzählbare Familie an nichtleeren Mengen handelt, dein Argument mit dem letzten Familienglied ist somit hinfällig.

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Stimmt, danke für den Hinweis.

Aber dann könnte ich ja folgendermaßen argumentieren:

Wäre der Schnitt leer, so gäbe es ein Mitglied der Familie das der leeren Menge entsprechend muss(leere Menge ist ja auch kompakt). Da dies nach Voraussetzung jedoch nicht der Fall ist, kann also auch der Schnitt nicht leer sein.