sin(x), cos(x) und sin(x + π/3) sind auf [0, 1] definiert und stetig, sind sie linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Die Funktionen sin(x), cos(x) und sin(x + π/3) sind auf [0, 1] definiert und stetig.
Also sind dies Vektoren des R–Vektorraumes C[0, 1]. Sind sie linear unabhängig? Begründen
Sie!

Problem/Ansatz:

λ1 * sin(x) + λ2 * cos(x) + λ3 * sin(x + π/3) = 0

Answer 1

Hier ein generischer Ansatz für ein solches Problem: Da die Funktionen differenzierbar sind, differenziere sie und erhalte so mehrere Gleichungssysteme. Hier also
\( \begin{array}{l} a \sin (x)+b \cos (x)+c \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0 \\ a \cos (x)-b \sin (x)+c \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0 \\ -a \sin (x)-b \cos (x)-c \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0 \end{array} \)

womit sich das Gleichugssystem
\( \underbrace{\left(\begin{array}{ccc} \sin (x) & \cos (x) & \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \\ \cos (x) & -\sin (x) & \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \\ -\sin (x) & -\cos (x) & -\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \end{array}\right)}_{:=\mathbf{A}} \cdot\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)
Nun kannst du die Determinante der Matrix bestimmen (am besten erst auf Zeilenstufenform bringen), denn es gilt ja
\( \operatorname{det}(\mathbf{A}) \neq 0 \Longleftrightarrow \mathcal{N}(\mathbf{A})=\{0\} \)

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Hier ist recht einfach zu sehen, dass \(\det\left(\textbf{A}\right)=0\), da du einfach die erste und letzte Zeile addieren kannst, und siehst, dass die resultierende Matrix eine Nullzeile hat. Damit folgt also, dass die Funktionen linear abhängig sind.

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Comments

Das Verfahren ist sicher sinnvoll unter dem Hintergrund, dass Studierende an einem relativ einfachen Beispiel´das "Standardverfahren" trainieren sollen.

Im konkreten Sachzusammenhang geht es doch einfach darum, ob z.B. sin(x + π/3) als Linearkombination von sin x und cos x darstellbar ist oder nicht.

Mit Kenntnis der Additionstheoreme wird also danach gesucht, ob es Parameter a und b gibt mit

a sin(x) +b cos(x)= 0,5 sin(x)  + \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) sin(x).

Mit a=0,5 und b =  \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) ist das offensichtlich der Fall.

Somit lässt sich sin(x + π/3) als Linearkombination von sin x und cos x darstellen und ist von diesen abhängig.

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Wo steht das in der Aufgabe? Die Aufgabe besagt lediglich, dass man lineare Unabhängigkeit beweisen soll, wie man das letztendlich macht, ist jedem selbst überlassen. Manch einer sieht vielleicht nicht, dass man hier einfach das Additionstheorem anwenden kann und daher finde ich die obige Methode eingängiger.