Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

a) \( \sum \limits_{n=-7}^{\infty} \frac{n^{2}+3 n}{n^{4}+n^{3}-15 n-1} \)

b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(n-1)^{n+1}}{n^{n}} \)
Problem/Ansatz:

Bei a) wollte ich am Anfang den inneren Wert vereinfachen um dann ein Kriterium anzuwenden. Dabei bin ich mir aber nicht sicher ob das klappt. Momentan komme ich mit Konvergenz auch nicht wirklich weiter.

Bei b) denke ich handelt es sich um eine alternierende Summe oder? Also abwechselnd negativ und positiv. Aber auch da hab ich leider keine Ahnung wie man das machen soll.

Soweit ich aber verstanden hab, konvergiert eine Reihe wenn, laut definition, q<1 und divergiert bei q>1, oder?

Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

bei b) denke ich , dass es so ist:

Wenn es konvergiert, dann gehen jedenfalls die

Beträge der Summanden gegen 0.

Aber \( \frac {(n-1)^{n+1}}{n^n}  = \frac {(n-1)^{n}}{n^n}  \cdot (n-1) = \)

\( = (1 - \frac {1}{n}) ^n \cdot (n-1)  \)

Der erste Faktor geht gegen e^(-1) und der zweite gegen unendlich,

also geht es nicht gegen 0

==> Reihe nicht konvergent.

bei a) kannst du wohl mit < 1 / n^(1,5) abschätzen.

Und die zu   1 / n^(1,5) konvergiert.

Comments

mit < 1 / n^(1,5) abschätzen.

Was meinst du damit?

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\(  \frac{n^2 +3n}{n^4+n^3-15n-1} \lt \frac{1}{n^{1.5}} \)

kannst du durch umformen zeigen, dass dies von einem

hinreichend großen n an gilt. Und weil die Reihe mit

\(   \frac{1}{n^{1.5}} \) konvergiert, tut deine das auch.