Hallo,
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in allen Winkeln übereinstimmen.
a)
Jedes der Dreiecke hat einen rechten Winkel. Nenne den kleinsten Winkel α in einem beliebigen Dreieck, dann ist der letzte Winkel 90°-α.
Nun findest du in den benachbarten Dreiecken die gleichen Winkel und im vierten ebenfalls.
b)
Im Dreieck I findest du das Seitenverhältnis 4:3 für "lange Kathete: kurze Kathete". Für die anderen Dreiecke gilt das auch.
II) 4:3=3:x → x=2,25
Im Dreieck III beträgt die Länge der längeren Kathete 4-2,25=1,75.
III) 4:3=1,75:y → y= 1,75*3/4=21/16
Die lange Rechteckseite ist 6cm lang, das sind 96/16.
Die Hypotenuse von IV ist also
96/16 - 21/16 = 75/16.
Nun brauchst du die Länge der Hypotenuse eines der anderen Dreiecke. Bei Nummer I sind es 5cm. (Pythagoras!)
Die Seitenlänge eines Dreiecks stehen also im Verhältnis 3:4:5. Das gilt für alle vier Dreiecke.
IV) 3:4:5=a:b:(75/16)=a:b:(5*15/16)
--> a=3*15/16=45/16 ;
b=4*15/16=60/16=15/4
Die Hypotenusen von II und III schaffst du jetzt selbst.
c)
Nimm die jeweils längere Kathete zweier Dreiecke und setze sie ins Verhältnis, also
I → II) k=3/4=0,75
II +-> III) ...
d) Formel für die Fläche eines Dreiecks:
A1=0,5ab
A2=0,5*ka*kb=k^2*0,5ab=k^2*A1
Du musst also die Längenfaktoren aus c) quadrieren.
A(II):A(I)=0,75^2=0,5625
usw.
:-)
