Bestimmen Sie die Menge M aller Vektoren - b sind und in der xy−Ebene

Question

Aufgabe: Menge orthogonale Verktoren für einen Vektor finden

Problem/Ansatz:  Bestimmen Sie die Menge M aller Vektoren ->a, die orthogonal zu ->b sind und in der xy−Ebene
liegen. Beschreiben Sie M geometrisch.

->a = a1               ->b= 3

       a2                       -2

       a3                        0

Answer 1

Aloha :)

Der Vektor \(\vec b=(3|-2|0)^T\) hat die \(z\)-Koordinate \(0\), liegt also selbst bereits in der \(xy\)-Ebene. Unser Vektor \(\vec a=(a_1|a_2|a_3)^T\) soll auch in der \(xy\)-Ebene liegen, also ist \(a_3=0\). Nun sollen \(\vec a\) und \(\vec b\) noch senkrecht stehen:

$$0\stackrel!=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}=3a_1-2a_2\implies 2a_2=3a_1\implies a_2=1,5a_1$$Damit haben wir alle zu \(\vec b\) senkrechten Vektoren, die selbst in der \(xy\)-Ebene liiegen, gefunden:

$$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\1,5a_1\\0\end{pmatrix}=a_1\cdot\begin{pmatrix}1\\1,5\\0\end{pmatrix}$$

Geometrisch ist das eine Gerade durch den Urpsrung des Koordinatensystems, die in der \(xy\)-Ebene verläuft und dort die Funktionsgleichung \(y=1,5x\) hat.

Nach Hinweis von abakus: Ich habe den Ursrung des Koordinatensystems an den Startpunkt des Vektors \(\vec b\) gelegt. Der Vektor \(\vec a\) geht dann ebenfalls vom Ursprung aus, sodass beide Vektoren denselben Ausgangspunkt haben.

Comments

Vektoren haben keinen festen Ort, da sie von unendlich viele Pfleilen repräsentiert werden.

Weder müssen solche Pfeile überhaupt in der xy-Ebene liegen, noch müssen sie ausgerechnet auf eine Ursprungsgerade liegen.

Die Antwort ist damit in mehrerer Hinsicht oberflächlich.