Aufgabe:
Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) sei definiert durch
\( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left[\begin{array}{c} \log \left(1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) \\ x_{1} e^{x_{2}} \end{array}\right] \)
(i) Geben Sie die Menge \( A \) aller Punkte \( x \in \mathbb{R}^{2} \) an, in der die Jacobi-Matrix \( J f(x) \) invertierbar ist.
(ii) Begründen Sie, dass \( f \) in allen Punkten \( x \in A \) lokal invertierbar ist.
(iii) Bestimmen Sie für alle \( x \in A \) die Jacobi-Matrix der lokalen Inversen von \( f \) im Punkt \( f(x) \).
