Aloha :)
Ich kenne die Restglied-Formel aus deiner Vorlesung nicht. Aus der Aufgabenstellung entnehme ich aber, dass die Taylor-Entwicklung 1-ter und 2-ter Ordnung gesucht ist.
Wir berechnen direkt die Taylor-Entwicklung 2-ter Ordnung, weil dabei diejenige der ersten Ordnung automatisch mit abfällt:$$f(\vec r)=e^{\Delta\vec r\cdot\vec\nabla}f(\vec r_0)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(\Delta\vec r\cdot\vec\nabla)^k}{k!}f(\vec r_0)$$$$\phantom{f(\vec x)}\approx \underbrace{\green{f(\vec r_0)}}_{\text{0-te Ordnung}}+\underbrace{\pink{\Delta\vec r\cdot\vec\nabla f(\vec r_0)}}_{\text{1-te Ordnung}}+\underbrace{\blue{\frac12\left(\Delta\vec r\cdot\vec\nabla\right)^2f(\vec r_0)}}_{\text{2-te Ordnung}}$$
In dieser Aufgabe ist nun:$$\vec r=\binom{x}{y}\quad;\quad\vec r_0=\binom{\frac\pi2}{0}\quad;\quad\Delta\vec r=\vec r-\vec r_0=\binom{x-\frac\pi2}{y}=\binom{\Delta x}{\Delta y}\quad;\quad\vec\nabla=\binom{\frac{\partial}{\partial x}}{\frac{\partial}{\partial y}}$$und wir erhalten konkret:$$f(x;y)\approx\green{f({\small\frac\pi2};0)}+\pink{\left(\Delta x\,\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\,\frac{\partial}{\partial y}\right)f({\small\frac\pi2};0)}+\blue{\frac12\left(\Delta x\,\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\,\frac{\partial}{\partial y}\right)^2f({\small\frac\pi2};0)}$$
$$\phantom{f(x;y)}\approx\green{f({\small\frac\pi2};0)}+\pink{\Delta x\,\frac{\partial f(\frac\pi2;0)}{\partial x}+\Delta y\,\frac{\partial f(\frac\pi2;0)}{\partial y}}\,+$$$$\phantom{f(x;y)}+\,\blue{\frac12\left((\Delta x)^2\,\frac{\partial^2 f(\frac\pi2;0)}{\partial x^2}+2\Delta x\Delta y\frac{\partial^2f(\frac\pi2;0)}{\partial x\,\partial y}+(\Delta y)^2\,\frac{\partial^2 f(\frac\pi2;0)}{\partial x^2}\right)}$$
Die Ableitungen sind nicht schwer zu bilden:$$f(x;y)=(y+\cos y)\cdot \sin x\implies\green{f({\small\frac\pi2};0)=1}$$$$\frac{\partial f}{\partial x}=(y+\cos y)\cdot\cos x\implies\pink{\frac{\partial f(\frac\pi2;0)}{\partial x}=0}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=(1-\sin y)\cdot\sin x\implies\pink{\frac{\partial f(\frac\pi2;0)}{\partial y}=1}$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-(y+\cos y)\cdot\sin x\implies\blue{\frac{\partial^2 f(\frac\pi2;0)}{\partial x^2}=-1}$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}=(1-\sin y)\cdot\cos x\implies\blue{\frac{\partial^2 f(\frac\pi2;0)}{\partial x\,\partial y}=0}$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-\cos y\cdot \sin x\implies\blue{\frac{\partial^2 f(\frac\pi2;0)}{\partial y^2}=-1}$$
Wir fassen zusammen:$$f(x;y)\approx\green1+\pink{\Delta y}+\blue{\frac12\left(-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2\right)}=\green 1+\pink y\,\blue{-\frac12\left(\left(x-\frac\pi2\right)^2+y^2\right)}$$
