Bestimmen Sie die Nullstellen der Graphen der Funktionenschar in Abhängigkeit von k.

Question

Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktionenschar \( f_{k}(x)=x^{2}-3 k x+2 k^{2} ; \quad x, k \in \mathbb{R} \).
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Graphen der Funktionenschar in Abhängigkeit von k.
b) Berechnen Sie in Abhängigkeit von \( k \) den Inhalt der Fläche, die von einem Graphen der Schar und der \( x \)-Achse eingeschlossen wird.
c) Bestimmen Sie den Parameter \( k \) so, dass der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion \( f_{k} \) den Wert 36 hat.

Problem/Ansatz:

Habe keinen Ansatz, verstehe die Aufgabe nicht, wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte

Comments

Hallo,

was genau verstehst du nicht?

Kannst du die Gleichung

\( x^{2}-3 k x+2 k^{2} =0\) nicht lösen?

Kannst du die Stammfunktion nicht bilden und die Nullstellen als Grenzen des Integrals einsetzen und das Integral berechnen?

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Genau, ich bin mir nicht sicher wie ich die lösen soll

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Unsicherheit oder Unkenntnis? Fang doch einfach mit

\(x^2-3kx+2k^2=0\) an. Die pq-Formel wäre beispielsweise eine Möglichkeit.

Answer 1

f (x ) = x^2 - 3kx + 2k^2

Nullstellen:

x^2 - 3kx + 2k^2=0
quadratische Ergänzung = (1.5k )^2

x^2 - 3kx + (1.5k)^2 - (1.5k)^2 = - 2k^2

( x^2 - 1.5k) ^2 = -2k^2 + 2.25k^2
( x^2 - 1.5k) ^2 = 0.25k^2  | Wurzel
x^2 - 1.5k = ± 0.5k
x = 2k
und
x = 1k

Comments

b) Berechnen Sie in Abhängigkeit von \( k \)
den Inhalt der Fläche, die von einem Graphen der Schar und der \( x \)-Achse eingeschlossen wird.

f (x ) = x^2 - 3kx + 2k^2
Stammfunktion
S = x^3 / 3 - 3k * x^2 / 2 + 2k^2 * x
Die Nullstelen sind die Integrationsgrenzen
S zwischen x = 2k und k
(2k)^3 / 3 - 3k * (2k)^2 / 2+ 2k^2 * (2k)
- k^3 / 3 - 3k * k^2 / 2+ 2k^2 * k
- k^3 / 6

Flächen sind grundsätzlich als
positiv anzusehen, also
| - k^3 / 6 |

c) Bestimmen Sie den Parameter \( k \) so, dass der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion \( f_{k} \) den Wert 36 hat.

| - k^3 / 6 | = 36
k = ± 6

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Verstehe nicht woher 1,5k^2 herkommt

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Die Quadratsche Ergänzung ist die
Hälfte der Vorzahl von x zum Quadrat

3kx => 1.5k = > (1.5k)^2

Quadratsiche Ergänzung und die pq-Formel
kannst du im Internet nachschlagen.

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Hallo Georg,

ich habe deine Antwort ergänzt und die falschen "f(x)=" entfernt.

:-)

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Hallo monty,
1.) bei mir falsch
Quadratsiche Ergänzung
sondern
Quadratische Ergänzung
darauf hättest du mich auch aufmerksam
machen sollen.

2.) leider finde ich den von dir
korrigierten Fehler nicht.

3.) Ich bin dafür alle Fehler so stehen
zu lassen und lediglich auf Fehler
hinzuweisen.
Sonst gibt es Hinweise auf Fehler die
gar nicht mehr da sind.
Das kann verwirrend wirken.

And now something completely different
Nichts Neues
a.) Ich bin dafür ganz Deutschland zu
überdachen
und
b.) Kathargo zu zerstören.

Answer 2

Zu a): Rechne die Nullstellen mit der pq-Formel in Abhängigkeit von k:

Habe raus x1= 2k x2=k

Zu b):

Rechne Integral von k bis 2k, indem du die Stammfunktion F_k(x) berchnest und dann F_k(2k) und F_k(k) bestimmen. Zudem rechnest du F_k(2k)-F_k(k).

Kontrolllösung für die Stammfkt. x^3/3-1,5*k*x^2+2*k^2*x

Kontrolllösung für das Integral in Abh. von k: -k^3/6

Zu c)

Setze -k^3/6 = 36
Habe raus: k=-6
Also Integral von -6 bis -12 von f₆(x)=x^2+18*x+72 wobei k=-6 ist.

Ich kann nicht versprechen, dass meine Antwort richtig ist.

Comments

Wie genau funktioniert das mit der pq Formel:

Ich habe nämlich das hier raus:

X1,2= -3/2k +- \( \sqrt{(-3/2k)^2 - 2k} \)

= 3/2k +- \( \sqrt{9/4k^2 - 2k^2} \)

= 3/2k +- \( \sqrt{1/4k^2} \)

= 3/2k +- 1/4k

X1= 7/4k v x2= 5/4k

---

= 3/2k +- 1/4k

Du musst aus 1/4 auch die Wurzel ziehen.

... =3/2 *k ± 1/2 *k

:-)