Substitution: Wo liegt der Fehler?

Question

Das Integral soll durch Substituieren gelöst werden:

Mein Rechenweg gibt aber ein anderes Ergebnis, als die Musterlösung:

Text erkannt:

g) \( \begin{aligned} & \int x^{2} \sqrt{6 x^{3}-5} d x \\ & z=6 x^{3}-5 \\ & z^{\prime}=18 x^{2} \\ & \int x^{2} \sqrt{z} \frac{1}{18 x^{2}} d z=\frac{1}{18 x^{2}} \cdot d z \\ & 18 \cdot \sqrt{z} \\=& 18 \cdot \sqrt{6 x^{3}-5}+C \end{aligned} \)

Wo liegt der Fehler?

Text erkannt:

g) \( \int x^{2} \sqrt{6 x^{3}-5} d x \)

Answer 1

Aloha :)

$$\int x^2\sqrt{6x^3-5}\,dx=\frac{1}{18}\int\sqrt{6x^3-5}\cdot18x^2\,dx=\frac{1}{18}\int\left(6x^3-5\right)^{\frac12}\cdot d(6x^3)$$Wegen \(\frac{d(6x^3)}{dx}=18x^2\) ist \(18x^2\,dx=d(6x^3)\) und du kannst das Integral sofort hinschreiben:$$=\frac{1}{18}\cdot\frac23\left(6x^3-5\right)^{\frac32}+\text{const}$$oder du substiutierst noch symbolisch \(u\coloneqq 6x^3\) rein und wieder raus, sodass$$=\frac{1}{18}\int(u-5)^{\frac{1}{2}}\,du=\frac{1}{18}\cdot\frac23(u-5)^{\frac32}+\text{const}=\frac{1}{18}\cdot\frac23\cdot\left(6x^3-5\right)^{\frac32}+\text{const}$$

Answer 2

Vor der Wurzel bleiben 1/18 und nicht 18 stehen.

Weiterhin hast du noch nicht integriert oder?

Answer 3

Hallo,

es muß lauten:

=1/18 ∫ √z dz ->Du hast nicht integriert

=1/18 * 2/3 * z^(3/2) +C

=1/27 (6x^3-5)^(3/2) +C

Answer 4

Hallo,

du hast aus 1/18 den Faktor 18 gemacht.

Und √z=z^{0,5} wird beim Integrieren zu z^{1,5}/1,5.

:-)