Folgendes Integral soll berechnet werden.
\( \int \limits_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} d x \)
Dazu habe ich das Prinzip der Substitution verwendet:
1. Substitutionsfunktion wählen: z(x) = x2-1
2. Bildung von dz/dx: dz/dx = 2x <=> dx = dz/2x
3. Einsetzen von z und dx in das ursprüngliche Integral:
\( \int \limits_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\int \limits_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{z}} \frac{d z}{2 x} \)
4. Integrieren:
\( \int \limits_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{z}} \frac{d z}{2 x}=\frac{1}{2 x} \int \limits_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{z}} d z=\frac{1}{2 x} \cdot 2 \sqrt{z}=\frac{\sqrt{z}}{x} \)
, wobei die gebildete Stammfunktion in den Grenzen von 1 bis 2 genommen wird.
5. Rücksubstitution:
\( \int \limits_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{\sqrt{z}}{x}=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}=\frac{\sqrt{2^{2}-1}}{2}-\frac{\sqrt{1^{2}-1}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
Das Ergebnis ist falsch und ich weiß nicht warum. Eigentlich sollte ~1,31 anstatt von (√3)/2 rauskommen. Wo ist mein Fehler?
