Abbildungsvorschrift, Bijektion, Umkehrabbildung

Question

Aufgabe:

Es bezeichne α: Z×Z → Z die Addition α(a,b) = a+b von ganzen Zahlen. α♯ bezeichne die zu α gehörige Abbildung α♯ : Z → Abb(Z, Z).
(a) Geben Sie in Abhängigkeit von a ∈ Z die Abbildungsvorschrift von α♯(a) ∈ Abb(Z, Z) an.
(b) Zeigen Sie, dass α♯(0) = idZ und α♯(a + b) = α♯(a) ◦ α♯(b) für alle a, b ∈ Z.
(c) Zeigen Sie, dass α♯(a) für alle a ∈ Z eine Bijektion ist und geben Sie die Umkehrabbildung von α♯(a) an.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll und dementsprechend keinerlei Lösungsansätze/vorschläge

Comments

Wie ist denn # bei euch definiert?

Gibt es da ein Diagramm und / oder eine "universelle Eigenschaft" ?

Answer 1

(a) Geben Sie in Abhängigkeit von a ∈ Z die Abbildungsvorschrift von α♯(a) ∈ Abb(Z, Z) an.

Das ist wohl α♯(a) : Z → Z mit α♯(a)(b) = a+b

(b) Zeigen Sie, dass α♯(0) = idZ weil für alle x∈ℤ gilt α♯(0)(x)=0+x=x=id_Z(x)

und          α♯(a + b) = α♯(a) ◦ α♯(b) für alle a, b ∈ Z.

weil   α♯(a + b)(x) = (a+b)+x = a +(b+x)=a+  α♯(b)(x) =   α♯(a)(α♯(b)(x))=(α♯(a)o(α♯(b))(x)

(c) Zeigen Sie, dass α♯(a) für alle a ∈ Z eine Bijektion ist und geben Sie die Umkehrabbildung von α♯(a) an.

Sei a∈Z.   Für alle x,y ∈ Z gilt  α♯(a)(x)=α♯(a)(y)

                                     ==>   a+x = a+y   | -a

                                     ==>     x = y   also  α♯(a) injektiv.

                  Sei z∈Z. Dann gibt es ein x∈Z mit α♯(a)(x)=z

                          denn                    a+x=z

wird erfüllt durch x = z-a = -a+z  und das ist für  alle a, z ∈Z definiert.

Damit ist die Umkehrabbildung von α♯(a) gerade die Abb. α♯(-a)