Question

Finden Sie die Umkehrabbildung der Abbildung

\( \varphi:\left\{\begin{array}{c} \mathbb{R}^{3} \rightarrow {R}^{3} \\ \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} x_{1}-x_{2} \\ x_{2}+x_{3} \\ x_{3}-x_{1} \end{array}\right) . \end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Wie könnte man hier die Umkehrabbildung ohne Verwendung der Inversen Matrix finden?

Comments

Also ich denke, das einfachste ist hier tatsächlich eine Inverse zu bilden.

Warum möchtest du das nicht machen oder hoffst du darauf das man das so sehen kann?

Also wir haben hier ein paar sehr fähige Mathematiker auf der Plattform, die vermutlich direkt die Inverse sehen können. Ich würde allerdings tatsächlich die Inverse bilden.

Answer 1

Hallo :-)

Deine Abbildung \(\varphi\) lässt sich auch durch eine Darstellungsmatrix hinschreiben:

$$\varphi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}x_1-x_2\\x_2+x_3\\x_3-x_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}\cdot  \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$

Und jetzt betrachtest du für beliebiges \(\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\in \R^3\), ob $$\varphi\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix} $$

lösbar ist. Löse also das LGS:

$$ \underbrace{\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}}_{=:A}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$$

indem du die Inverse von \(A\) bestimmst bzw untersuchst, ob \(A\) invertierbar ist.

Ist das der Fall, dann ist dein LGS eindeutig lösbar. Ist \(A\) nicht invertierbar, dann hat \(A\) nicht den vollen Rang 3, sodass dass dein LGS nicht für alle \(\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\in \R^3\) lösbar ist.

Comments

Die Frage hast du aber schon gelesen oder? Der FS möchte es ja gerade ohne die Inverse machen!

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Du weißt doch selber, dass das Lösen eines LGS, bei der die Anzahl an Gleichungen mit der Anzahl an Unbekannten übereinstimmt, auf die Inverse einer Matrix hinaus läuft!

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Das ist völlig unerheblich. Der Ansatz über die Inverse ist dem FS offensichtlich bekannt. Seine Frage ist aber eben eine völlig andere und deine Antwort somit unpassend, das sie nämlich zur Frage selbst keinen Bezug herstellt. Erinnert ein bisschen an unseren lieben Bundeskanzler, der auf diese Weise ebenso ihm gestellten Fragen ausweicht. ;)

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Du weißt doch selber, dass das Lösen eines LGS, bei der die Anzahl an Gleichungen mit der Anzahl an Unbekannten übereinstimmt, auf die Inverse einer Matrix hinaus läuft!

Das ist schlicht falsch. Eine Inverse zu berechnen ist viel aufwendiger als ein LGS zu lösen. Eine Inverse wird daher nur selten wirklich benötigt.

Answer 2

Bestimme \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\) in der Gleichung \(\begin{pmatrix}x_{1}-x_{2} \\ x_{2}+x_{3} \\ x_{3}-x_{1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\).

Answer 3

Hallo,

Wie könnte man hier die Umkehrabbildung ohne Verwendung der Inversen Matrix finden?

... es fällt zumindest auf, dass die Addition der drei Koordinaten im Bildvektor wieder \(2x_3\) ergibt. Mit ein wenig Probieren von Addition und Subtraktion ergibt sich recht fix:$$\varphi^{-1}:\quad \begin{pmatrix} x_{1}-x_{2} \\ x_{2}+x_{3} \\ x_{3}-x_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z_1\\ z_2\\ z_3\end{pmatrix} \mapsto \frac{1}{2}\begin{pmatrix}z_1+z_2-z_3\\ z_2-z_1-z_3\\  z_1+z_2+z_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}$$Gruß Werner

Answer 4

Löse folgendes LGS nach x1, x2 und x3 auf

x1 - x2 = y1
x2 + x3 = y2
x3 - x1 = y3

II ; III + I

x2 + x3 = y2
x3 - x2 = y1 + y3

I + II

2·x3 = y1 + y2 + y3 --> x3 = 0.5·y1 + 0.5·y2 + 0.5·y3

Nun Rückwärts auflösen

x2 + (0.5·y1 + 0.5·y2 + 0.5·y3) = y2 --> x2 = - 0.5·y1 + 0.5·y2 - 0.5·y3

x1 - (- 0.5·y1 + 0.5·y2 - 0.5·y3) = y1 --> x1 = 0.5·y1 + 0.5·y2 - 0.5·y3

Eigentlich macht man beim Bilden einer Inversen aber nichts anderes.